Le Monde est Mathématique …

Remarques sur le tome 1 de la collection : « Le Nombre d’Or ».

[I] Quelques idées sur les « Nombres de métal » (niveau lycée)

  Cédric VILLANI – Médaillé Fields 2010

De fait, il s’agit au départ du travail d’une équipe espagnole, repris et « francisé » par l’équipe de l’IHP (Institut Henri Poincaré – Paris) dont Cédric Villani est le directeur. J’ai moi-même, étudiant, fréquenté l’intitut en 1966, du temps qu’y officiaient Paul Dubreuil, excellent pédagogue et mathématicien que je supposais, peut-être à tort, modeste, et Charles Pisot, que je prenais pour un excellent mathématicien et qui était à l’évidence un assez regrettable pédagogue. J’y ai fait un peu d’Algèbre et, théoriquement, côtoyé des éléments de Théorie des nombres à un niveau qui s’intitulait « Etudes approfondies » et  ne m’a laissé que des traces plus que superficielles !

Ce premier volume ici d’une collection de 40 livres que le quotidien Le Monde met en route est consacré à : 

Phi=(1+Rac(5))/2     … de valeur approchée  1,618033989  (au milliardième près) (Rac= Racine Carrée)

… communément désigné comme "Nombre d'Or" et non moins usuellement présenté comme réalisant l’optimum esthétique du rapport longueur/largeur d’un rectangle - avec souvent référence à la façade du Parthénon, etc.

On est là dans le cadre d’une vulgarisation qui se veut à la fois élégante, complète, et interdisciplinaire. La gageure est difficile et relativement peu – a priori – dans mes goûts, tant, faute de donner des argumentations totalement abouties, l’exercice peut laisser un sentiment d’incertitude et de frustration.

Il y a dans ce travail deux parties assez nettement distinctes. D’abord trois chapitres de présentation qui ont un caratère plutôt technique à partir de la « Suite de Fibonacci », et ensuite deux chapitres à vocation plus ouverte sur le nombre d’or « Dans les arts » et « Dans la nature ». Cette seconde partie m’a moins convaincu tant, en dépit des efforts des rédacteurs, l’arbitraire m’a paru pouvoir y jouer un rôle, éventuellement subliminal.

Sur la première partie en ses trois chapitres, le professeur de lycée peut trouver matière à exercer son appétit pédagogique en prélevant quelques bons thèmes de travail en classe, avec le plaisir de faire compléter à ses élèves les trous « calculatoires » que n’a pas comblés le souci de vulgarisation. Le plaisir aussi de rectifier quelques (rares) coquilles.

Il est déjà amusant pour des élèves de « sentir »  que Phi apparaît comme écriture limite de :

Rac(1+Rac(1+Rac (1+Rac(1+Rac(1+Rac(1+….))))))

en faisant percevoir l’affaire à l’aide d’une calculatrice ; l’initialisation B <== 0 (B reçoit la valeur 0) suivie de l’itération (une vingtaine de fois) B<== Rac(1+B) (B reçoit racine carrée de 1+B) conduisant à la stabilisation d’affichage : 1,618033989  porte cette écriture potentiellement illimitée vers la relation

Phi = Rac(1+Rac(1+Rac (1+Rac(1+Rac(1+Rac(1+….))))))  si l’on s’appuie sur l’a priori de la valeur annoncée de Phi, mais aussi, vers l’écriture : Phi=Rac(1+Phi), soit  Phi² =1+Phi avec Phi>0. La résolution de l'équation du second degré est immédiate et donne bien: Phi=(1+Rac(5))/2

De même pour l’hypothèse d’écriture illimitée (fraction continue simple):

Phi= 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(…))))), toujours avec  une approche « calculatrice » ; l’initialisation B<==1 (B reçoit la valeur 1) suivie de l’itération (une grosse vingtaine de fois) B<==1+1/B (B reçoit 1 + 1/B) conduisant à la stabilisation d’affichage : 1,618033989 

Avec cette fois en contrepoint l’écriture tentante : Phi=1+1/Phi, soit de nouveau,  Phi² =1+Phi avec Phi>0. Et la même conclusion.

Les micro-algorithmes indiqués sont de programmation très simple et on peut jouer sur le second par exemple en y introduisant un paramètre flottant (égal à 1 dans le cas de Phi) :

? ==> A ; 1==> B ; [ étiquette 1] ; A+1/B==> B ; [afficher B] ; [retourner à l’étiquette 1]

… pour constater que l’affichage se stabilise à :

2,414213562   quand A=2 (au bout d’une douzaine d’itérations)

3,302775638   quand A=3 (au terme d’une grosse dizaine d’itérations)

etc.

Et on peut réfléchir en termes d’écriture illimitée associée :

Phi₂=2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+…))))) ==> Phi₂ = 2 + 1/Phi₂

Phi₃=3+1/(3+1/(3+1/(3+1/(3+1/(3+…))))) ==>  Phi₃ = 3 + 1/ Phi₃

avec les équations du second degré à la clé (dont seule nous intéressent les racines positives) :

Phi₂² = 2Phi₂ + 1 soit  Phi₂² - 2Phi₂ - 1 = 0  d’où : Phi₂ = 1+Rac(2)

Phi₃² = 3Phi₃ + 1 soit  Phi₃² - 3Phi₃ - 1 = 0  d’où : Phi₃ = (3+Rac(13))/2

etc .

Phi₂ est dit Nombre d’argent, Phi₃ est dit Nombre de bronze et en gardant le paramétrage en A entier, on obtient une suite dénombrable de Nombres de métal Phi_A, solutions positives de l’équation générique du second degré:

Phi_A²-APhi_A-1=0 déduite de la relation d’écriture : Phi_A=A+1/ Phi_A.

Et donc avec, en résolvant : Phi_A = (A+Rac(A²+4))/2

On peut définir un peu plus largement les Nombres de métal Phi_A,C comme solutions positives de l’équation du second degré paramétrée en nombres entiers :

X²-AX-C=0.

Ce qui donne l’idée de les lire sous la forme : Phi_A,C = A + C/ Phi_A,C et donc, dans le prolongement de ce qui a été rencontré pour Phi₂ et Phi₃,  comme résultant de l’écriture limite (en fraction continue) :  

Phi_A,C = A+C/(A+C/(A+C/(A+C/(A+C/(A+ …)))))

Les Phi_A déjà introduits (Phi₂ et Phi₃) sont donc des Phi_A,1.

Par résolution de « leur » équation du second degré : Phi_A,C = (A+Rac(A²+4C))/2

On avait par ailleurs déjà remarqué que le Nombre d’or était aussi susceptible d’être atteint par l’écriture :

Phi = Rac(1+Rac(1+Rac (1+Rac(1+Rac(1+Rac(1+….)))))) 

Quid alors des écritures similaires, avec C paramètre entier ?

X(?) = Rac(C+Rac(C+Rac (C+Rac(C+Rac(C+Rac(C+….)))))) 

Si elles ont un sens, elles nous renvoient naturellement à l’équation générique :

X=Rac(C+X), soit, à solution positive : X²-X-C=0, ce qui débouche alors sur :

Rac(C+Rac(C+Rac (C+Rac(C+Rac(C+Rac(C+….))))))  = Phi_1,C

et sur :

Rac(C+Rac(C+Rac (C+Rac(C+Rac(C+….)))))=1+C/(1+C/(1+C/(1+C/(1+…))))

On peut achever le petit tour d’horizon en programmant l’itération indiquée des radicaux :

? ==> C ; C ==>B ; [ étiquette 1] ; RacB==>A ; [afficher A] ; C+ A==>B; [retourner à l’étiquette 1]

Pour C=2, on obtient l’affichage attendu, 2, en 17 itérations. Ainsi :

2=Rac(2+Rac(2+Rac (2+Rac(2+Rac(2+Rac(2+….))))))

Pour C=3, on obtient la stabilité d’affichage à 2,302775638 en 16 itérations, pour l’attendu : (1+Rac(13))/2

Si l'on veut, par extension, écrire sous forme de radicaux tous les Nombres de métal, on repart de leur équation générique (X²-AX-C=0) pour la lire (ils sont positifs) X=Rac(C+AX), ce qui nous renvoie à la forme hypothétique:

X(?) = Rac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+….)))))) 

L’assimilation de l’affaire à une construction récurrente de n^ième  terme X_n avec X_n=Rac(C+AX_n-1) permet un raisonnement « de lycée » assez simple concluant à la convergence (on travaille dans les réels positifs) de la suite des X_n vers la solution positive L de l’équation générique précédente.

Les racines de celles-ci sont en effet, par l’examen de leur produit, égal à –C, de signes opposés. Le terme (positif) X₀ de départ est donc soit compris entre 0 et L, la racine positive, et c’est le cas n°1, soit plus grand que L (cas n°2) . Pour X₀=L, tous les X_n sont égaux à L.

Tous les termes étant positifs, la différence X_n-X_n-1 est du signe de X_n²-X_n-1²  donc, par l’équation générique, du signe de -( X_n-1²-AX_n-1-C), c’est-à-dire positive dans le cas n°1 et négative dans le cas n°2.

Par ailleurs, si on compare X_n et L, on voit que la différence X_n-L est du signe de X_n²-L², donc du signe de

(AX_n-1–C) - (AL-C), soit A(X_n-1-L).

Donc, X_n et X_n-1 sont toujours « du même côté » de L.

Dans le cas n°1, la suite des X_n est donc croissante et majorée (par L); dans le cas n°2, elle est décroissante et minorée (par L); dans les deux cas, il y a bien convergence. 

Finalement, on a bien :

Phi_A,C =Rac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+….))))))

et du coup :

Rac(C+ARac(C+ARac(C+ARac(C+….))))=A+C/(A+C/(A+C/(A+C/(A+…))))

A SUIVRE ….

Comments

[Cirla]

C'est pas une forme d'autisme, ça?