DE QUOI RESTER DUBITATIF ....

QU'EST-CE QUE C'EST QUE CE MACHIN?

Extraction à la main: racine carrée, racine cubique…

Voyons, M. le ministre, c'est pourtant simple … et je pense qu'en classe de troisième ...

Ah, bon?

Soit à déterminer la racine carrée de 157,82 (√157,82). Technique :

157,82	Découpage en tranches de 2 chiffres à gauche et à droite à partir de la virgule	√157,82≈
1/57/,82/00/00/…	A=1 est la tranche la plus à gauche. Recherche de b-max tel que b2≤1 (b2 ≤ A) . Ici: b=1.	1
0	On soustrait : A – b2  . Résultat: X; ici X=0
57	On abaisse A*, tranche suivante de deux chiffres (ici: A*=57) et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 57 soit (20x1+a)a< 57 ((20b+a)a < 100X+A*). On trouve a=2
13	13 = 57-44, où 44= (20b+a)a, avec b=1 et a=2; ; on donne à b la valeur de juxtaposition ba, soit12 X prend la valeur 13	12
1382	On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*,  et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 1382  soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=5
157	157 = 1382 – 1225, où 1225=(20x12+5)x5. On donne à b la valeur de juxtaposition ba, soit 125 (on introduit dans l'écriture en cours de la racine la virgule qu'on vient de franchir). On donne à X la valeur 157	12,5
15700	On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 15700 ((20b+a)a < 100X+A*). On trouve a=6.
664	664 = 15700 – 15036, où 15036 = (20x125 + 6)x6. On donne à b la valeur de juxtaposition ba, soit  1256. On donne à X la valeur 664	12,56
66400	On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 66400 soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=2
16156	16156 = 66400 – 50244, où 50244=(20x1256+2)x2.  On donne à b la valeur de juxtaposition ba soit 12562 puis on donne à X la valeur 16156	12,562
1615600	On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 1615600 soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=6
108124	108124 = 1615600 – 1507476, où 1507476=(20x1256+2)x2. Puis on donne à b la valeur 125626 et à X la valeur 108124	12,5626
10812400	On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 10812400  soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=4
762304	762304 = 10812400 – 10050096, où 10050096=(20x125626+4)x4. Puis on donne à b la valeur 1256264 et à X la valeur 762304	12,56264
76230400	ETC. Affichage calculatrice : √157,82=12,56264…

Quelle est l'idée sous-jacente à la technique indiquée?

 Après séparation à gauche et à droite de la virgule de l'écriture du nombre en tranches de deux chiffres, on oublie la virgule. Elle se réinjecte d'elle-même dans le résultat quand on doit abaisser la première tranche de deux chiffres à sa droite, mais elle n'intervient pas dans la technique.

On ne manipule donc que des entiers naturels au fil de la progression

Supposons b le meilleur entier dont le carré approche A par valeur inférieure.

Supposons A' = A+0,01A* , 0≤A*<100

b² approche "au mieux" A

On pose X = A – b²   ;   X=A-b² est minimum.

Pour approcher "au mieux" A' par b'², on pense à poser :  b'=b+0,1a  (avec  0≤a<10)

On veut donc approcher "au mieux" A+0,01A* par (b+0,1a)²

On veut donc approcher "au mieux" A+0,01A* par b²+2xbx0,1a + 0,01a²

On va donc chercher à approcher "au mieux" A-b²+0,01A* par 2xbx0,1a + 0,01a²

On va donc chercher à approcher "au mieux" X+0,01A* par 2xbx0,1a + 0,01a²

En multipliant par 100:

On va donc chercher à approcher "au mieux" 100X+A* par 20ba + a²

On va donc chercher à approcher "au mieux" 100X+A* par (20b + a)a

C'est bien ce que fait avec succès le schéma ci-dessus à propos de la recherche de √157,82

Extension à la racine cubique? ³√M = … ?

On rappelle l'identité remarquable: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

L'idée pourrait être de découper l'écriture de M en tranches de trois de part et d'autre de la virgule.

Ensuite, autre idée, partir de b-max tel que b³ soit une approximation entière par valeur inférieure de l'entier A.

On pose X=A-b³

Si A' = A + 0,001A*, on va chercher le meilleur b' = b + 0,1a    (avec   0≤a<10)

On veut approcher "au mieux" A' par b'³ , soit par (b + 0,1a)³

On veut donc approcher "au mieux" A+0,001A* par (b+0,1a)³

On veut donc approcher "au mieux" A+0,001A* par b³+3xb²x0,1a +3xbx0,01a²+0,001a³

Soit tâcher d'approcher "au mieux" A-b³+0,001A* par 3xb²x0,1a +3xbx0,01a²+0,001a³

Soit tâcher d'approcher "au mieux" X+0,001A* par 3xb²x0,1a +3xbx0,01a²+0,001a³

En multipliant par 1000:

On tâche d'approcher "au mieux" 1000X+A* par 300b²a +30ba²+a³

On va donc chercher à approcher "au mieux" 1000X+A* par (30(10b+a)b+a²)a

 Essai d'application : ³√18289, 149

18289,149	Découpage en tranches de trois	3√18289, 149 ≈
18/289/149/000/..	b-max pour b3≤18 . Soit b=2 X=18-23=10	2
10289	a-max tel que (30(20+a)x2+a2)a ≤10289 donne a=6 10689-(30x26x2+62)x6=713 X=713, b=26	26
713149	a-max tel que (30(260+a)x26+a2)a ≤713149 donne a=3 713149-(30x263x26+32)x3=97702 X=97702, b=263	26,3
97702000	a-max tel que (30(2630+a)x263+a2)a ≤97702000 donne a=4 97702000-(30x2634x263+42)x4=14572896 X=14572896, b=2634	26,34
14572896000	a-max tel que (30(26340+a)x2634+a2)a ≤14572896000 donne a=6 14572896000-(30x26346x2634+62)x6=2081724000 X=2081724000, b=26346	26,346
2081724000000	ETC. Affichage calculatrice : 3√18289, 149 = 26,346…

On voit que la méthode étendue à l'extraction d'une racine cubique fonctionne, mais il faut bien constater la lourdeur vite rédhibitoire du procédé …

Comments

[Debra]

Donc, c'est pour ça qu'on a inventé les machines. Pour faire ça plus vite que nous, si je comprends bien, et dans l'illusion que les machines sont incapables d'erreur. (Oui, je tiens dur comme fer qu'il y a une sacrée foi à s'imaginer que les machines sont incapables d'erreur... foi de charbonnier, même.)

Vous allez ricaner, mais je suis revenue à faire mes comptes avec la tête, et pas la machine. Rigoler, parce que je ne sais pas combien de personnes font leurs comptes à l'heure actuelle, et puis, je les fais toujours avec un crayon, sans me sentir coupable vis à vis des arbres. Histoire de garder quelques étincelles neuronales encore, et un peu de souplesse dans la gymnastique de la tête.

Question mathématique : vaudrait-il mieux se sentir coupable de faire tomber des arbres, ou... de faire tourner ses machines infernales 24h/24 en se félicitant... d'épargner les arbres ?....

Comme quoi on voit que l'Homme est foncièrement un animal condamné à l'irrationnel.