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QU'EST-CE QUE C'EST QUE CE MACHIN?

Extraction à la main: racine carrée, racine cubique…

Voyons, M. le ministre, c'est pourtant simple … et je pense qu'en classe de troisième ...

Ah, bon?

 

Soit à déterminer la racine carrée de 157,82 (√157,82). Technique :

157,82

Découpage en tranches de 2 chiffres à gauche et à droite à partir de la virgule

√157,82≈

1/57/,82/00/00/…

A=1 est la tranche la plus à gauche. Recherche de b-max tel que b2≤1

(b2 ≤ A) . Ici: b=1.

1

0

On soustrait : A – b2  . Résultat: X; ici X=0

 

57

On abaisse A*, tranche suivante de deux chiffres (ici: A*=57) et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 57 soit (20x1+a)a< 57

((20b+a)a < 100X+A*). On trouve a=2

 

13

13 = 57-44, où 44= (20b+a)a, avec b=1 et a=2; ; on donne à b la valeur de juxtaposition ba, soit12

X prend la valeur 13

12

1382

On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*,  et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 1382  soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=5

 

157

157 = 1382 – 1225, où 1225=(20x12+5)x5. On donne à b la valeur de juxtaposition ba, soit 125 (on introduit dans l'écriture en cours de la racine la virgule qu'on vient de franchir). On donne à X la valeur 157

12,5

15700

On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 15700 ((20b+a)a < 100X+A*). On trouve a=6.

 

664

664 = 15700 – 15036, où 15036 = (20x125 + 6)x6. On donne à b la valeur de juxtaposition ba, soit  1256. On donne à X la valeur 664

12,56

66400

On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 66400 soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=2

 

16156

16156 = 66400 – 50244, où 50244=(20x1256+2)x2.  On donne à b la valeur de juxtaposition ba soit 12562 puis on donne à X la valeur 16156

12,562

1615600

On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 1615600 soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=6

 

108124

108124 = 1615600 – 1507476, où 1507476=(20x1256+2)x2.

Puis on donne à b la valeur 125626 et à X la valeur 108124

12,5626

10812400

On abaisse la tranche suivante de deux chiffres, A*, et on cherche à tâtons a-max tel que:  (20b+a)a < 10812400  soit (20b+a)a < 100X+A*. On trouve a=4

 

762304

762304 = 10812400 – 10050096, où 10050096=(20x125626+4)x4.

Puis on donne à b la valeur 1256264 et à X la valeur 762304

12,56264

76230400

ETC.

Affichage calculatrice : √157,82=12,56264…

 

 

 

Quelle est l'idée sous-jacente à la technique indiquée?

 Après séparation à gauche et à droite de la virgule de l'écriture du nombre en tranches de deux chiffres, on oublie la virgule. Elle se réinjecte d'elle-même dans le résultat quand on doit abaisser la première tranche de deux chiffres à sa droite, mais elle n'intervient pas dans la technique.

On ne manipule donc que des entiers naturels au fil de la progression

Supposons b le meilleur entier dont le carré approche A par valeur inférieure.

Supposons A' = A+0,01A* , 0≤A*<100

b2 approche "au mieux" A

On pose X = A – b2   ;   X=A-b2 est minimum.

Pour approcher "au mieux" A' par b'2, on pense à poser :  b'=b+0,1a  (avec  0≤a<10)

On veut donc approcher "au mieux" A+0,01A* par (b+0,1a)2

On veut donc approcher "au mieux" A+0,01A* par b2+2xbx0,1a + 0,01a2

On va donc chercher à approcher "au mieux" A-b2+0,01A* par 2xbx0,1a + 0,01a2

On va donc chercher à approcher "au mieux" X+0,01A* par 2xbx0,1a + 0,01a2

En multipliant par 100:

On va donc chercher à approcher "au mieux" 100X+A* par 20ba + a2

On va donc chercher à approcher "au mieux" 100X+A* par (20b + a)a

C'est bien ce que fait avec succès le schéma ci-dessus à propos de la recherche de √157,82

Extension à la racine cubique? 3√M = … ?

On rappelle l'identité remarquable: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

L'idée pourrait être de découper l'écriture de M en tranches de trois de part et d'autre de la virgule.

Ensuite, autre idée, partir de b-max tel que b3 soit une approximation entière par valeur inférieure de l'entier A.

On pose X=A-b3

Si A' = A + 0,001A*, on va chercher le meilleur b' = b + 0,1a    (avec   0≤a<10)

On veut approcher "au mieux" A' par b'3 , soit par (b + 0,1a)3

On veut donc approcher "au mieux" A+0,001A* par (b+0,1a)3

On veut donc approcher "au mieux" A+0,001A* par b3+3xb2x0,1a +3xbx0,01a2+0,001a3

Soit tâcher d'approcher "au mieux" A-b3+0,001A* par 3xb2x0,1a +3xbx0,01a2+0,001a3

Soit tâcher d'approcher "au mieux" X+0,001A* par 3xb2x0,1a +3xbx0,01a2+0,001a3

En multipliant par 1000:

On tâche d'approcher "au mieux" 1000X+A* par 300b2a +30ba2+a3

On va donc chercher à approcher "au mieux" 1000X+A* par (30(10b+a)b+a2)a

 Essai d'application : 3√18289, 149

 

18289,149

Découpage en tranches de trois

3√18289, 149 ≈

18/289/149/000/..

b-max pour b3≤18 . Soit b=2

X=18-23=10

2

10289

a-max tel que (30(20+a)x2+a2)a ≤10289 donne a=6

10689-(30x26x2+62)x6=713

X=713, b=26

26

713149

a-max tel que (30(260+a)x26+a2)a ≤713149 donne a=3

713149-(30x263x26+32)x3=97702

X=97702, b=263

26,3

97702000

a-max tel que (30(2630+a)x263+a2)a ≤97702000 donne a=4

97702000-(30x2634x263+42)x4=14572896

X=14572896, b=2634

26,34

14572896000

a-max tel que (30(26340+a)x2634+a2)a ≤14572896000 donne a=6

14572896000-(30x26346x2634+62)x6=2081724000

X=2081724000, b=26346

26,346

2081724000000

ETC.

Affichage calculatrice : 3√18289, 149 = 26,346…

  

On voit que la méthode étendue à l'extraction d'une racine cubique fonctionne, mais il faut bien constater la lourdeur vite rédhibitoire du procédé …

 

Foutage de gueule