ÉLÉMENTS SIMPSON (VI)

La mort d'Archimède .

      

Archimède, l'homme de la poussée (schématiquement : Tout corps plongé dans un fluide (liquide, gaz)  subit une poussée de bas en haut égale au poids du fluide déplacé) est mort en 212 avant JC, lors de la prise de Syracuse par les troupes du général romain Marcellus (2^ième guerre punique). Marcellus avait donné l'ordre d'épargner le savant, vieillard célèbre dans toute l'antiquité scientifique, alors âgé de 75 ans. Mais un soldat  qui ne l'avait pas reconnu lui a passé son épée en travers du corps.

Archimède, c'est Eurêka! (ηὕρηκα!), ce "J'ai trouvé!" qu'on lui a prêté (Vitruve – 1^er siècle avant JC), courant nu, jailli de sa baignoire, pour aller apprendre au tyran de Syracuse qu'il venait de résoudre le problème que l'autre lui avait posé: "Ma couronne est-elle en or massif, sans addition d'un quelconque métal?"

L'anecdote, peu probable, traîne partout.

Sophie Germain et Joseph-Louis Lagrange.

       

Sophie Germain, née le 1^er avril 1776, se prend de passion pour les mathématiques à l'âge de treize ans, après avoir lu dans la bibliothèque familiale un chapitre sur la vie d'Archimède. Il semble qu'elle ait été particulièrement impressionnée par les circonstances de sa mort. Autodidacte, elle se fait passer pour un ancien élève de l'Ecole Polytechnique et entretient une correspondance avec Lagrange, qui admire son talent et la prendra sous son aile après avoir découvert la supercherie.

Elle a, travaillant sur le théorème de Fermat, démontré un résultat d'un intérêt théorique certain et au fond d'une portée pratique nulle, connu sous le nom de Théorème de Sophie Germain.  En effet, elle a examiné les cas de trois entiers (x,y,z) qui vérifieraient pour un certain type d'entiers p supérieurs ou égaux à 3, l'égalité : x^p + y^p = z^p , concluant qu'alors, l'un au moins des entiers x, y z serait nécessairement divisible par p².

Ce qui est amusant, ou triste, selon les goûts, c'est que, ses hypothèses ne pouvant pas être vérifiées (puisque le théorème de Fermat - dûment démontré par Wiles à la toute fin du XX° siècle - affirme la non-existence de (x,y,z), entiers  et de p>3, tels que  x^p + y^p = z^p ), ses conclusions sont en toute logique dépourvues de valeur. C'est le principe : ex falso sequitur quodlibet  (du faux on peut déduire n'importe quoi). On serait fondé, sur les mêmes hypothèses que Sophie Germain, à conclure que les enfants sont en général plus âgés que leurs parents, par exemple. C'est au fond un théorème du type : Si ma tante en avait, ce serait mon oncle.

Joseph-Louis Lagrange est d'origine italienne, né à Turin en 1736. La petite histoire rapporte que cet immense savant, nommé en 1797 professeur d'analyse à l'Ecole Polytechnique, chaire créée pour lui, fut, pour sa voix fébrile et son fort accent italien, peu apprécié de ses étudiants! Insolente jeunesse !

Pour revenir à Sophie Germain, elle a beaucoup travaillé sur les nombres et a laissé son nom à un certain type de nombres premiers, les nombres premiers de Germain, nombres premiers p tels que 2p+1 soit lui aussi premier. Par exemple 3 (2x3+1 = 7) ou 5 (2x5+1 = 11).

On ignore si la suite des nombres premiers de Germain est infinie, mais on le suppose. On peut par contre imaginer un algorithme (c-à-d un programme) de construction de cette suite, à partir de ses premiers termes. En fait, on part d'un algorithme de construction de la suite des nombres premiers eux-mêmes.

Développons un peu :

Le point de départ est que tout entier non premier N possède des diviseurs autres que 1 et lui-même. A partir de là, il s'écrit N=mxn, avec 1 < m ≤ n. On recommence le raisonnement avec m si  m n'est pas premier et de proche en proche, on a la garantie que tout entier non premier possède un plus petit diviseur qui est premier. Notons le p : N=pxq, avec 1<p ≤ q et p premier.

On obtient immédiatement, puisque p ≤ q et pxq=N, que : p² ≤ pxq, soit p² ≤N, d'où p≤√N.

Conclusion : si N n'est pas premier, il a un diviseur premier inférieur ou égal à √N. En d'autres termes, si N n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à √N, alors, N est premier.

Ceci permet de mettre en place un algorithme de construction de la suite des nombres premiers .

Et les nombres premiers de Germain?

Ayant déterminé N comme premier (donc N ≥ 2), il faut se préoccuper de 2N+1. Et pour savoir si 2N+1 est premier, il faut tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à √(2N+1).

Or, on vérifie immédiatement que : √(2N+1)≤N en examinant l'inégalité équivalente : 2N+1≤N² soit 0≤N²-2N-1 soit 2≤(N -1)² soit √2≤N-1 soit N≥√2+1

Soit (puisque N est un entier, et que √2+1≈2,4) N≥3.

Pour tout entier supérieur ou égal à 3, pour contrôler que 2N+1 est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les entiers premiers inférieurs à N.

En construisant la suite des nombres premiers, à chaque nouveau nombre premier N (au-delà de 2, dont on sait déjà qu'il est premier et de Germain), on a donc aussi construit les outils suffisants pour le contrôle de la primarité de 2N+1.

Algorithme possible {Int désigne la partie entière; rappel : Int( a,bcd…) = a; p.ex. Int (2,54) = 2).

Ainsi: a est divisible par b si a-b = Int (a/b) soit a/b-Int(a/b) = 0}

Cet algorithme calcule deux listes, la liste P des L+1  premiers nombres premiers et la liste G des J premiers nombres premiers de Germain. Il demande la saisie de L et ensuite …. se débrouille, calculant lui-même la valeur finale de J. On obtient les deux listes en sortie, qu'il n'y a plus qu'à afficher.

N, M, K entiers

T, entier, test d'arrêt

R, nombre réel, résultat intermédiaire

P liste des nombres premiers

I, entier, index de P

I reçoit 1

P[1] reçoit 2

G liste des nombres premiers de Germain

J, entier, index de G

J reçoit 1

G[1] reçoit 2

T reçoit 1

N reçoit 2

Saisir L

Tant que I≤L  faire

N reçoit N+1

R reçoit 1

Pour K de 1 à I faire

Si  P[K] ≤ √N faire

R reçoit Rx(N/P[k]-Int(N/P[k]))

Fin Si

Fin Pour

Si R≠0 alors

I reçoit I+1

P[I] reçoit N

M reçoit 2N+1

R reçoit 1

Pour K de 1 à I faire

Si  P[K] ≤ √M faire

R reçoit Rx(M/P[k]-Int(M/P[k]))

Fin Si

Fin Pour

Si R≠0 alors

J reçoit J+1

G[J] reçoit N

Fin Si

Fin Si

Afficher "Saisir 0 pour arrêter, sinon 1."

Saisir T

Fin Tant que

Afficher liste P

Afficher liste G

L'algorithme s'implante sans problème sur une calculatrice de type lycée. J'ai utilisé ma "vieille" TI82 dont les capacités limitent L à 98, ce qui n'est déjà pas si mal. On obtient ainsi la liste des 99 premiers nombres premiers et parmi eux, des 26 premiers nombres premiers de Germain.

Pour ne donner que les plus grands :

523 est le 99^ième nombre premier

509 est le 26^ième  nombre premier de Germain.