ÉLÉMENTS SIMPSON (I) …
(Référence de départ: le billet consultable ICI)
1) E=mc2
Pour éviter d'entrer dans des tentatives d'explication … au bout du compte incompréhensibles, le mieux est de renvoyer vers le vulgarisateur d'exception qu'est Etienne Klein (https://www.youtube.com/watch?v=LRH8HKpLKtg). D'autant qu'à partir du lien ainsi indiqué, on débouche sur d'autres liens qui couvrent un vaste champ de curiosité autour des éléments en jeu.
Les seules modestes indications à fournir ici concernent les unités.
On voit dans la capture d'écran ci-contre que dès les premières secondes de la vidéo, par inattention, E. Klein note la vitesse de la lumière dans le vide sous la forme 3.108/m, écriture incorrecte et en rupture avec son énoncé oral, évidemment correct, "trois dix puissance huit mètres par seconde" , qu'il devait traduire par : 3.108m/s.
C'est vraiment une vétille et une classe de lycée lui aurait fait immédiatement rectifier sa notation.
Au passage, 108, c'est le nombre écrit dans le système décimal (usuel) à l'aide d'un 1 suivi de 8 zéros, soit 100 000 000. Et donc 3.108 m/s (où le point symbolise la mutiplication) signale une vitesse de 300 millions de mètres par seconde ou, plus usuellement, de 300 000 kilomètres par seconde (300 000 km/s).
Mais c'est bien en mètres par seconde (notation: m/s) que doit être exprimée la vitesse "c" dans la formule d'Einstein, puisqu'en dépit de quelques controverses, c'est à lui que la postérité a attribué cette formulation de ce qu'on présente comme une "équivalence masse-énergie".
La masse est en kilogrammes, unité connue.
L'énergie est alors exprimée en joules. Le joule se définit (grossièrement, en estimant à la valeur 10 – au lieu de 9,81 – l'accélération de la pesanteur à la surface de la terre) comme l'énergie nécessaire (dépensée; le "travail") pour soulever d'un mètre une masse de 100 grammes.
2) d(y3/3) = y2dy
Il y a là une notation "différentielle".
Je vais faire une présentation mathématiquement indéfendable mais assez acceptable pour un "physicien".
Très grossièrement, il faut imaginer une quantité qui dépend d'un ou de plusieurs facteurs.
Par exemple, à peu près tout le monde se souvient, pour un cercle de rayon r, de la formule qui donne son périmètre P. Elle utilise le symbole grec lu "pi" .... que je représenterai ici per : p . D'où : P = 2pr
Le périmètre dépend ici uniquement de r, il est "fonction" de r.
Si je donne au rayon r un petit accroissement que je note conventionnellement dr, le périmètre s'accroît de la quantité dP avec :
dP = 2p (r+dr) –2p r = 2p r + 2p dr – 2p r = 2p dr
2pdr est l'accroissement différentiel de P ou encore la "différentielle" de P: dP=2pdr.
Chacun se souvient aussi, probablement que la surface S du disque de rayon r est, elle, donnée par la formule : S = pr2
Si je donne au rayon r le petit accroissement dr, la surface s'accroît de la quantité :
DS = p(r+dr)2 - pr2 = p(r2 + 2rdr + (dr)2) – pr2 = 2prdr + p(dr)2
Mais si dr est un accroissement très petit, le terme (dr)2 est négligeable devant lui (par exemple, si dr =0,001 alors, (dr)2 = 0,000001). On ne fait donc pas une erreur considérable en assimilant DS à 2prdr.
On dit que 2prdr est l'accroissement différentiel de S (ou la "différentielle" de S)
On écrit : dS =2prdr
L'accroissement "vrai" est DS, l'accroissement "différentiel" est dS.
Plus dr est petit, moins l'erreur faite en remplaçant DS par dS est mesurable (sensible).
On développe ainsi des formules d'accroissements approchés, d'accroissements "différentiels" ou, plus brièvement, de "différentielles", qui, pour de très petites modifications des variables, donnent simplement, et avec une bonne précision, l'accroissement correspondant de la fonction qui les met en œuvre.
On vient ainsi de voir que : d(pr2) = 2prdr
p n'est là dedans qu'un coefficient multiplicateur inerte.
La formule importante est : d(r2) = 2rdr
On montre de même que : d(r3) = 3r2dr
Et que d(r4) = 4r3dr
Plus généralement, que : d(rn) = nrn-1dr
On s'en tiendra là comme introduction pour les Simpson.
À partir de tout cela on écrira: d(y3/3) = d((1/3)y3) , et, le facteur multiplicateur 1/3 étant inerte dans l'opération (comme p précédemment) , on obtiendra :
d((1/3)y3) = (1/3)d(y3) = (1/3)3y2dy = y2dy
Indiquons pour l'exemple une circonstance où cette formule peut être utilisée :
Supposons une pyramide à base carrée (avec un côté de longueur y), et décidons que sa hauteur est également y. Son volume V est le tiers du produit de la surface de la base par la hauteur, soit : V = (1/3)y3
Si on accroît alors de dy la longueur du côté ainsi que la hauteur, le volume de la pyramide s'accroît (différentiellement) de : dV = y2dy.
Ainsi, avec y=80 et dy=0,1 (80 mètres pour y, 10 centimètres pour dy), on aura :
dV = 802.0,1= 640 à comparer à DV=(1/3)80,13 – (1/3)803 = 640, 800333… où DV est l'accroissement "vrai".
On ne fait donc une erreur que de l'ordre de 1/1000 ((DV-dV)/DV= 0,00124…) en utilisant la différentielle dV de V pour estimer l'accroissement DV de V.
3) Des carrés "palindromes" ….
On sait ce qu'est un palindrome, une formulation qui se lit à l'identique, lettre à lettre, dans les deux sens : Esope reste et se repose. Exemple usuel.
Il s'agit ici, de la même façon, de carrés de nombres entiers qui se lisent, à l'identique, dans les deux sens. Immédiatement : 121, qui est le carré de 11 ou, plus spectaculaire, 5221225, qui est le carré de 2285.
On trouve un grand nombre de précisions et de renseignements à l’adresse suivante :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/PalCarre.htm
Simon Singh ne creuse pas la question mais signale que les carrés palindromes ont rarement un nombre pair de chiffres. Le premier dans ce cas est 698896 = 8362
Et il faut attendre 796644 pour trouver le second : 637 832 238 736 = 7966442
La description de l'ensemble des nombres palindromes écrits dans le système décimal ne présente pas de difficulté particulière. Si je veux ainsi un nombre palindrome à 11 chiffres, il me suffit de choisir arbitrairement le premier parmi {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, puis les cinq suivants parmi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, et de recopier à la suite les cinq premiers dans l'ordre inverse de leur choix. Ainsi, la séquence 103427 nous fournira le nombre palindrome 10342724301. Pour un nombre palindrome à 12 chiffres, choix du premier parmi {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, puis des cinq suivants parmi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, et recopie à la suite des six nombres ainsi choisis dans l'ordre inverse de leur choix. Ainsi, la séquence 654009 fournit le nombre palindrome 654009900456.
Je peux alors compter combien il existe de nombres palindromes à n chiffres, avec la seule nuance que je distinguerai les deux cas n pair et n impair.
On comprend immédiatement que pour n impair, soit n=2p+1, on a 9 possibilités pour le premier chiffre puis 10 possibilités pour chacun des p suivants. Le nombre est à partir de là constitué. Les choix se multiplient pour donner au bout du compte : 9x10p nombres palindromes à 2p+1 chiffres.
Si n est pair, n=2p, on a 9 choix pour le premier chiffre puis 10 choix pour chacun des (p-1) suivants soit au total 9x10p-1 nombres palindromes à 2p chiffres.
On pose : n' = (2n-3+(-1)n+1)/4 .
On vérifie que : si n=2p alors n' = p-1 et si n=2p+1 alors n' = p
On peut donc formuler en une fois la règle suivante :
Il existe 9x10n' nombres palindromes à n chiffres où n' = (2n-3+(-1)n+1)/4
C'est malheureusement une toute autre affaire que de prétendre fournir une règle de construction des carrés palindromes. Il semble qu'il n'en existe pas et que l'on se contente de les "rencontrer", ce qui peut s'imaginer au long d'une promenade informatique où l'ordinateur, convenablement programmé, calcule les carrés n2 des entiers successifs n puis en teste la forme, ayant compté le nombre v de leurs chiffres, avec le crible suivant :
n2 = c1c2 … ck … cv-1cv ; n2 est palindrome si {v = 2p et pour tout k de 1 à p, ck=cv+1-k } ou si {v=2p+1 et pour tout k de 1 à p, ck=cv+1-k}
Ce qui renvoie de nouveau à une formulation unique, ayant remarqué que si on pose :
v"=(2v-1+(-1)v)/4, on obtient, tant pour v=2p que pour v=2p+1, v"=p.
Soit l'énoncé :
n2 = c1c2 … ck … cv-1cv ; n2 est palindrome si pour tout k de 1 à v", ck=cv+1-k
où v"=(2v-1+(-1)v)/4
À SUIVRE …
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