SUR UNE EPREUVE DU BACCALAUREAT

                            

C'était la Fêtaumaths, ce lundi matin 20 juin, avec l'épreuve de mathématiques du baccalauréat, série S, épreuve encore un peu corsée pour la modeste communauté des candidats ayant choisi l'option complémentaire "Enseignement-Spécialité". Ils avaient droit à une petite récréation à propos de la recherche des points à coordonnées entières (positives ou négatives) de la droite d'équation :

Y = (M/N)X - P/Q avec M, N, P, Q, des entiers de signe quelconque , non nuls, et tels que M et N d'une part, P et Q d'autre part soient premiers entre eux (c-à-d n'aient aucun diviseur commun autre que 1).

On note cela : pgcd(M,N) = pgcd(P,Q)=1, où le sigle pgcd désigne le plus grand commun diviseur.

Après quelques préliminaires suivis du recours à deux fortes personnalités de l'Arithmétique, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) et Etienne Bezout (1730-1783), on en arrivait à la certitude que sur la droite indiquée, on trouvait effectivement des points à coordonnées entières sous la condition nécessaire et suffisante que Q soit un diviseur de N.

Ainsi, par exemple, M, de coordonnées X=42, Y=14, est un point à coordonnées entières de la droite d'équation : Y = (3/8)X-7/4. Vérification immédiate.

Heureux de ce succès, les candidats abordaient la question 5, ainsi libellée :

On donne l'algorithme suivant :

****

Variables : M,N,P,Q : entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M,N) = pgcd(P,Q)=1

X: entier naturel

Entrées : Saisir les valeurs de M,N,P,Q

Traitement et sorties :

Si Q divise N alors

       X prend la valeur 0

       Tant que ((M/N)X+P/Q n'est pas entier) et (-(M/N)X+P/Q n'est pas entier) faire

                   X prend la valeur X+1

       Fin Tant que

       Si  (M/N)X+P/Q est entier alors

                   Afficher X,(M/N)X+P/Q

       Sinon

                   Afficher -X, -(M/N)X+P/Q

       Fin Si

Sinon

       Afficher "Pas de solution"

Fin Si

****

a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée M,N,P,Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M,N)=pgcd(P,Q)=1

b. Que permet-il d'obtenir?

Le déchiffrement de l'algorithme n'était pas difficile, d'autant qu'il s'agissait à l'évidence de gérer concrètement une situation identique ou apparentée à celle qu'on venait de traiter de façon théorique.

Mais toute la question soudain a été là : Identique ou Apparentée?

Car, attendue comme identique par le lecteur attentif, il était assez clair qu'il y avait une faute de frappe dans l'approche exposée, et que tous les (M/N)X+P/Q  et

 -(M/N)X+P/Q écrits auraient dû l'être  (M/N)X-P/Q  et  -(M/N)X-P/Q 

Par contre, acceptée comme apparentée, l'approche assumait sans sourciller la présentation fournie, à charge pour le candidat de souligner qu'elle s'utilisait pour gérer la présence d'un certain point de coordonnées entières sur la droite d'équation :

Y = (M/N)X+P/Q  et non, comme dans les questions précédentes, Y = (M/N)X-P/Q.

Mais le bon sens du candidat n'aime pas les apparentements douteux et le plus vraisemblable est qu'en l'occurrence, cette répulsion ait été fondée et le texte effectivement fautif.

Le signataire du BAT (bon-à-tirer) méritant dès lors qu'on en fasse autant avec ses oreilles!

Si l'on met en place effectivement l'algorithme proposé (si on le programme sur une calculatrice de type lycée), il nous permet quoi qu'il en soit de répondre aussi bien au problème : Y =  (M/N)X+P/Q qu'au problème : Y = (M/N)X-P/Q sous réserve lorsqu' il se déroule et pose la question de la saisie de P, de saisir –P. Cette petite acrobatie fournit un argument (de parfaite mauvaise foi) pour essayer de dédouaner le sujet en affirmant que l'algorithme fourni n'était au fond qu'à moitié inadéquat ….. ou plutôt volontairement biaisé afin de tester l'aptitude des candidats à opérer eux-mêmes le rattrapage simple nécessaire pour l'utiliser dans le strict cadre de l'étude précédente (en saisissant  –P au lieu de P).

Ainsi, en saisissant successivement – 23 et 23, l'algorithme fournit comme solutions :

X=-4; Y=-7  pour  Y = (13/14)X-23/7     et  X=4; Y=7 pour Y =  (13/14)X+23/7   

On notera au passage qu'il est évident que:

si (X,Y) est solution de Y = (M/N)X+P/Q

alors (-X, -Y) est solution de Y = (M/N)X-P/Q.

On peut s'amuser à faire tourner l'algorithme sur des saisies un peu moins triviales.

Il fournit ainsi vaillamment : X= -204; Y=-46 pour Y = (47/210)X-12/35