Le monde est mathématique ... ou le Monde est ma thématique?

En tout cas, c’est chapitre II !

On continue de survoler le premier tome (sur 40 programmés … mais je négligerai probablement les 39 suivants) de la collection pilotée pour notre « Grand quotidien du soir » par Cédric Villani. 

La suite de Fibonacci (Léonard de Pise . 1170-1250) prend une place assez notable dans les présentations faites du Nombre d’Or  (cf. Chap. I  : http://ednat.canalblog.com/archives/2013/05/15/27165957.html)

Il s’agit de la suite de nombres entiers définie par récurrence à partir de ses deux premiers termes : u₁=u₂=1 et au-delà par la relation « de proche en proche » permettant de calculer tout terme u_n (de numéro/de rang n) à partir des deux précédents : u_n=u_n-1+u_n-2 .

Tous les termes successifs d’une telle suite sont positifs, strictement,  et donc la suite est croissante : u_n>u_n-1 … et on ne la « sent pas » majorée.

La valeur de u_n « part » probablement vers l’infini avec la valeur de son rang n et même certainement car de ce que u₁=u₂=1, puis u₃=2, on déduit à vue qu’ensuite u_n>n-1.

Mais formons le quotient x_n=u_n/u_n-1 de deux termes consécutifs.

A partir de : u_n = u_n-1 + u_n-2 , on contrôle immédiatement en divisant par u_n-1 que l’on a :  x_n=1 + 1/x_n-1.

Avec deux conséquences évidentes : x_n>1 (pour toutes les valeurs de n, puisque 1/x_n-1 est un nombre positif) et x_n<2 (puisque x_n-1 est alors au même titre que x_n un nombre supérieur à 1). Finalement, pour tout n, x_n reste compris entre 1 et 2.

Lorsqu’on a (Chap. I) rencontré le Nombre d’or, Phi, c’était entre autres comme racine positive de l’équation : X =1+1/X . Soit : Phi =1+1/ Phi. On va s’intéresser à une comparaison entre Phi et x_n .

En soustrayant les écritures x_n=1 + 1/x_n-1 et Phi =1+1/ Phi , il vient :

x_n- Phi = 1/x_n-1 – 1/ Phi = (Phi -x_n-1)/ Phi.x_n-1

Clairement, les quantités (x_n- Phi) et (x_n-1- Phi) sont donc de signes opposés puisque Phi.x_n-1  est un nombre positif. Ainsi, x_n et x_n-1 sont « de part et d’autre » de Phi.

x₂=1, x₃=2, x₄=3/2, x₅=5/3 … de proche en proche (on sait que Phi vaut environ 1,618), on aura : x_2p > Phi et x_2p+1 < Phi.

On a pour tout n : 1 < x_2p+1 < Phi < x_2p < 2.

Par ailleurs, si on s’intéresse à la « distance » de x_n à Phi, on constate à partir de la relation : x_n- Phi = (Phi -x_n-1)/ Phi.x_n-1 qu’elle décroît puisque le produit Phi.x_n-1 est un nombre positif supérieur à 1.

Donc, la suite des nombres x_n « ne cesse » de se rapprocher de Phi et en coupant l’affaire en deux, la suite des x_2p+1 apparaît comme croissante  et la suite x_2p comme décroissante.  Or les x_2p+1 sont inférieurs à Phi et les x_2p supérieurs.

Les élèves de Terminale savent qu’alors, suite croissante et majorée d’une part, suite décroissante et minorée d’autre part, ces deux suites sont convergentes, c’est-à-dire ont chacune une limite. Cette limite est-elle commune et égale à Phi ? 

Supposons le contraire (principe du raisonnement « par l’absurde »), et que la suite des x_2p+1 a pour limite un certain nombre L et celle des x_2p un autre nombre L’, avec L¹L’ .

Valable pour toute valeur de n, la relation  x_n=1 + 1/x_n-1 l’est encore « à la limite », ce qui permet d’écrire aussi bien (à partir de n=2p+1) L=1+1/L’ que (à partir de n=2p) L’=1+1/L, d’où par soustraction :

L-L’ = 1/L’ – 1/L = (L-L’)/LL’

D’où , dans l’hypothèse prise L-L’¹ 0 : 1=1/LL’, soit LL’=1, soit L’=1/L.

Par report dans par exemple L’=1+1/L, il vient L’ = 1+L’, soit 1=0.

Conclusion « absurde », ce qui invalide, le raisonnement intermédiaire étant correct, l’hypothèse faite L¹L’.

Cette hypothèse est donc rejetée, ce qui conduit à L=L’.

Mais L, limite des valeurs x_2p+1, toutes inférieures à Phi, est au plus égale à Phi. Et L’, limite des valeurs x_2p, toutes supérieures à Phi, est au moins égale à Phi. On déduit évidemment de l’égalité L=L’ que cette valeur commune ne peut être que Phi.

Et le Nombre d’or Phi apparaît ainsi comme la limite, pour n infini, du quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci !

      Sur l’origine de cette suite : Elle est donnée comme solution du « Problème des lapins » dans le Liber abaci (le Livre de l’abaque, publié en 1202 par Fibonacci, et dénommé ainsi par son auteur et par dérision, l’objet du livre étant de démontrer la supériorité du calcul adossé à l’usage des chiffres arabes sur les méthodes alors en vigueur, centrées sur la numérotation romaine et l’usage d’abaques – On nomme abaque tout procédé ou outil mécanique ou graphique permettant d’obtenir (au besoin de façon approximative) des résultats numériques difficilement accessibles par les voies du calcul et de la théorie).

  Voici, donné pour original, le texte du problème fourni par l’ouvrage que je commente : «  Un homme avait un couple de lapins enfermés dans un enclos et il voulait savoir combien de lapins pouvaient naître de ce couple en un an, car de manière naturelle les lapins peuvent engendrer un couple par mois et chaque nouveau couple peut déjà procréer le mois suivant. »

Il est assez clair que si, un mois donné, u_n couples sont présents, ils seront encore présents le mois suivant, augmentés des couples engendrés par ceux, nés au moins le mois précédent, au nombre de u_n-1 et qui ont dû , quand ils sont des néo-arrivants, passer leur premier mois sans procréer.

Dit autrement, par l’écriture évidente u_n=u_n-1+(u_n-u_n-1), on fait apparaître les  stériles, au nombre de (u_n-u_n-1), et les actifs , au nombre de u_n-1 , du mois en cours.

Ce qui fournit bien la relation : u_n+1 = u_n + u_n-1, immédiatement transformable en relation : u_n = u_n-1 + u_n-2. C’est celle-là que j’ai utilisée, avec pour l’amorcer, par commodité, u₁=u₂=1.

On peut contester cette initialisation et lui préférer directement u₁=1 ; u₂=2, ce qui simplement décale tout d’un cran, mais correspond mieux à un couple initial (u₁=1) ayant procréé et cohabitant au mois n°2 avec sa progéniture, lequel couple initial procrée de nouveau au mois n°2 mais pas le couple qu’il a engendré pendant le mois n°1. On aborde donc le mois n°3 avec u₃=3. Pendant ce mois n°3, il y a un couple stérile, engendré au mois n°2 et deux couples actifs, l’initial et celui engendré au mois n°1. On se retrouve au mois n°4 avec 5 couples (3+2=5 ; u₄=5). Le processus est amorcé. Pendant le mois n°4, les 2 couples engendrés au mois n°3 sont stériles mais les trois autres sont actifs ; on abordera donc le mois n°5 avec 8 couples (5+3=8 ; u₅=8). Etc.

    Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute …

Du coup, je vais manger. Soupe de courgettes, jambon du pays  et Camembert. Le lapin en gibelotte, ce sera pour demain !