Ulysse-Joyce (XIV)

Les bœufs du Soleil (pages 553-618)

Homère expédie, dans cet épisode de l’Odyssée, Ulysse et ses compagnons, à peine échappés des dangers de Charybde et Scylla, sur les côtes de Thrinacie (la Sicile) où paissent les bœufs blancs du Soleil (ou Hélios ; divinité de second ordre au service des dieux de l’Olympe, Hélios est presque confiné, en fonctionnaire, dans un rôle de luminaire, traversant quotidiennement le ciel sur son char éblouissant (d’après Pierre Grimal – Dict. mythologique).

Tirésias et Circé ont recommandé à Ulysse de ne faire aucun mal aux bœufs blancs  de la divinité s'il espère regagner Ithaque, c'est pourquoi il a voulu d'abord éviter l'île, mais ses compagnons exténués le persuadent d'y faire escale. Des vents contraires soufflent pendant tout un mois et les provisions se mettent à manquer. Malgré leur promesse de ne pas toucher au bétail, les matelots profitent d'une absence d'Ulysse pour tuer des bœufs et en manger la viande. La punition ne tarde pas : alors qu'ils ont enfin repris la mer, une tempête suscitée par Zeus fond sur eux, la foudre frappe et disloque la nef, les hommes sont emportés par les flots. Seul Ulysse, cramponné au mât, survit, ballotté pendant neuf jours au milieu des flots avant de repasser Charybde et d'aborder aux rivages de l'île d'Ogygie (la presqu’île de Ceuta, face à Gibraltar, constituant avec ce rocher les colonnes d’Hercule de l’antiquité) où habite la nymphe Calypso. Elle le retient pendant sept ans (certains affirment dix ans …) , puis, sur l'ordre de Zeus, le renvoie vers Ithaque sur un radeau la huitième année. Ayant fait naufrage en route une nouvelle fois, il parvient à nager jusqu'au rivage des Phéaciens  (Corfou) où il est découvert par Nausicaa, la fille du roi Alcinoos …. C’est alors le thème du chapitre précédent de Joyce !

Cette histoire des bœufs du Soleil aurait inspiré ( ?) à Archimède (287-212) – l’affaire n’est pas certaine – un célèbre problème d’arithmétique, au demeurant fort difficile.

Voici : Le Troupeau du Soleil

Ami, si tu as la sagesse en partage, apporte grand soin à calculer à combien s’élevait la multitude des boeufs du Soleil qui, jadis dans les plaines de l’île de la Sicile Thrinacienne, paissaient, répartis en quatre troupeaux de couleur différentes, l’un blanc de lait, l’autre d’un noir luisant, le troisième brun et le quatrième tavelé. Il y avait dans chaque troupeau un nombre considérable de taureaux répartis dans les proportions suivantes: imagine, mon ami, que les blancs étaient en nombre égal à la moitié augmentée du tiers des taureaux noirs, et augmentée de tous les bruns, tandis que les noirs étaient en nombre égal aux quatrième et cinquième parties des tavelés, accrues de tous les bruns. Considère d’autre part que les tavelés restants étaient en nombre égal aux sixième et septième parties des blancs, accrues de tous les bruns. Les vaches étaient réparties de la manière suivante: les blanches étaient en nombre précisément égal aux troisième et quatrième parties de tout le troupeau noir, tandis que les noires étaient de nouveau en nombre égal aux quatrième et cinquième parties des tavelées qui étaient toutes venues paître en compagnies des taureaux. Les tavelées étaient, d’autre part, en nombre égal aux cinquième et sixième parties de tout le troupeau brun, tandis que les brunes étaient en nombre égal à la moitié de la troisième partie accrue de la septième partie du troupeau blanc.

Ami, si tu me dis exactement combien il y avait de boeufs du Soleil, quel était en particulier le nombre des taureaux gras et en particulier le nombre des vaches pour chacune des couleurs, on ne te qualifiera ni d’ignorant ni de malhabile en matière de nombres ; mais tu ne pourras cependant pas encore compter parmi les savants. Dès lors, observe encore les diverses manières dont les boeufs du Soleil étaient disposés: lorsque les taureaux blancs joignaient leur multitude aux noirs, ils se maintenaient en un groupe compact ayant la même mesure en profondeur qu’en largeur, et ce carré remplissait entièrement les immenses plaines de la Thrinacie. D’autre part, les bruns et les tavelés réunis, sans que les taureaux d’autres couleurs fussent présents, étaient groupés de telle sorte que, le premier rang étant constitué par un seul, ils formaient graduellement une figure triangulaire.

Ami, si tu trouves toutes ces choses de pair, et si, en un mot, concentrant tes esprits, tu exprimes toutes les mesures de ces multitudes, va, te glorifiant d’avoir remporté la victoire, et persuadé que l’on te juge complètement consommé dans cette science.

Il n’est pas inintéressant de s’attarder un peu à l’ébauche des parties élémentaires d’une solution, nous évitant ainsi d’être qualifiés  ‘‘d’ignorants ou de malhabiles en matière de nombres’’, tout en renonçant par avance  à pouvoir être  ‘‘jugés complètement consommés dans cette science’’.

Il faut d’abord mettre en forme l’ énoncé. Il y a en fait huit inconnues constituant les nombres  B de taureaux blancs, N de taureaux noirs, M  de taureaux bruns (…marrons, pour éviter un incompréhensible second B) et T de taureaux tavelés, avec en minuscules, respectivement b, n, m, t  pour les nombres de vaches blanches, noires, brunes et tavelées.

Les équations imposées par l’énoncé dans sa première partie s’écrivent alors :

B = (1/2+1/3)N + M                                   b = (1/3+1/4)(N+n)

N = (1/4+1/5)T + M                                    n = (1/4+1/5)(T+t)

T = (1/6+1/7)B + M                                    t = (1/5+1/6)(M+m)

                                                                       m = (1/6+1/7)(B+b)

Ce qui se réduit rapidement en :

B = (5/6)N + M                                           b = (7/12)(N+n)

N = (9/20)T + M                                          n = (9/20)(T+t)

T = (13/42)B + M                                        t = (11/30)(M+m)

                                                                       m = (13/42)(B+b)

C’est un système classique d’équations linéaires, sept équations pour huit inconnues.

On chasse les dénominateurs pour obtenir le système sous la forme initiale : 

    6B  –  5N   –  6M –      0T    +     0b  +   0n +    0m +      0t = 0                      (1)

    0B  + 20N – 20M  –  9T     +    0b   +   0n +    0m +      0t = 0                       (2)

-13B   +  0N –  42M  + 42T    +    0b  +    0n +    0m +      0t = 0                      (3)

    0B   –  7N +   0M +    0T   +   12b   -    7n +    0m +      0t = 0                       (4)

    0B  +   0N +   0M  –  9T   +     0b +    20n +     0m -      9t = 0                       (5)

    0B  +   0N –  11M +   0T   +     0b  +    0n   -   11m +    30t = 0                    (6)

 -13B  +   0N +  0M +    0T   -   13b   +    0n  +   42m +     0t = 0                      (7)

On combine à partir de là les équations entre elles. La méthode classiquement enseignée, dite « du pivot » , vise à réorganiser l’écriture en éliminant progressivement les inconnues en vue d’une présentation finale triangulaire (ou comme  ici presque triangulaire) du type :

6B   –  5N     –  6M   –    0T    +     0b     +    0n   +      0m   +       0t = 0                       (1)

0B  + (..)N   + (..)M  +  (..)T    +    (..)b   +   (..)n +    (..)m  +      (..)t = 0                     (2)

0B   +  0N    + (..)M  +  (..)T    +    (..)b   +   (..)n +    (..)m  +      (..)t = 0                     (3)

0B   +  0N    +   0M   + ( ..)T    +   (..)b   +   (..)n +    (..)m  +      (..)t  = 0                     (4)

0B   +  0N    +   0M   +     0T    +   (..)b   +   (..)n +    (..)m  +      (..)t  = 0                     (5)

0B   +  0N    +   0M   +     0T    +      0b   +   (..)n +    (..)m  +      (..)t  = 0                    (6)

0B   +  0N    +   0M   +     0T    +       0b   +      0n +    (..)m  +      (..)t  = 0                   (7)

Ne disposant « que » de 7 équations (conditions) pour 8 inconnues, il est intuitif que la solution ne sera pas unique. De fait, à partir de l’équation (7) finale qui pourra s’écrire :

Um = Vt   où U,V,m,t  sont des entiers, on pourra, après éventuelle simplification en sorte que U et V soient des entiers premiers entre eux (sans aucun diviseur commun autre que 1), en déduire que U qui doit diviser Vt divise donc nécessairement t, lequel s’écrira donc : t=kU, avec k entier quelconque, d’où on déduit immédiatement m=kV.

À partir de là et en « remontant » le système, (6) fournira  n, puis (5) fournira  b, etc.

Autant de solutions {B , N, M, T, b, n, m, t} que de valeurs de k, la plus « petite » étant acquise pour k=1.

Tout ce travail est minutieux, long et ennuyeux … mais nécessaire si on veut aboutir.

Il se programme (ordinateur) aisément.

On peut schématiser ses étapes successives. Détaillons l’exemple de la première :

Pour éliminer B des deux seules équations où cette inconnue apparaît ( la (3) et la (7)), on peut remplacer (3) par l’équation obtenue en lui soustrayant l’équation (7) ; on note alors  (le symbole <<< se lira « reçoit ») : (3) <<<  (3) – (7) ; on remplace ensuite  (7) par l’équation obtenue en  la multipliant par 6 et en lui ajoutant l’équation (1) multipliée par  13, ce qui se note :  (7) <<< 6(7) + 13(1).

Le système est devenu :

6B  –  5N   –  6M –      0T    +     0b  +   0n +    0m   +      0t = 0                        (1)

0B  + 20N – 20M   –  9T      +    0b   +   0n +    0m   +      0t = 0                       (2)

0B   +  0N –  42M  +  42T    +   13b  +    0n -    42m +      0t = 0                      (3)

0B   –  7N +   0M  +    0T     +   12b   -    7n +    0m   +      0t = 0                      (4)

0B  +   0N +   0M   –  9T      +     0b +    20n +     0m  -      9t = 0                      (5)

0B  +   0N –  11M +   0T     +     0b  +    0n    -   11m  +    30t = 0                    (6)

0B   -  65N - 78M +    0T     -   78b   +    0n  +  252m  +     0t = 0                     (7)

Sur le même principe ….

(Les courageux effectuent les calculs « pour voir » ; les dernières étapes manipulent de grands nombres)

Étape 2 ; élimination de N dans (4) et (7):

(4) <<< 20(4) + 7(2)    ;   (7) <<< 4(7) + 13(2)

Étape 3 ; élimination de M  dans (4) , (6) et (7) :

(4) <<< 3(4) - 10(3)    ;    (5) <<< 42(5) - 11(2) ;  (7) <<< 21(7) – 286(2)

Étape 4 ; élimination de T dans (5) , (6) et (7) :

(5) <<< 203(5) - 3(4) ;  (6) <<< 29(6) -22(4) ;  (7) <<< 29(7) – 689(4)

Étape 5 ; élimination de b dans  (6) et (7) (où (7) a pu d’abord être simplifiée par 10):

(6) <<< 590(6) - 5709(5) ; (7) <<< 295(7) – 11739(5)

Étape 6 ; élimination de n dans  (7) :

(7) <<< 12276(7) – 26559(6)

L’équation (7) finalement obtenue, celle annoncée comme pouvant s’écrire Um = Vt, s’écrit :

378980785260m – 586309086909t = 0   soit   378980785260m = 586309086909t

On cherche la décomposition des coefficients de m et t en produit de facteurs  premiers.

Il vient assez rapidement :

378980785260 = 2x2x3x3x3x5x7x7x11x29x59x761

586309086909 = 3x3x3x3x7x13x29x59x46489

On peut donc simplifier la relation obtenue par : 3x3x7x29x59=107793

Elle devient : 3515820m = 5439213t

Soit : m = 5439213k  et t = 3515820 k

D’où ensuite on déduit n, b, T, M, N et B.

Pour le bilan final :

B= 10366482k

N = 7460514k

M = 4149387k

T = 7358060k

b = 7206360k

n = 4893246k

m = 5439213k

t = 3515820k

On peut aborder succinctement la deuxième partie de l’énigme d’Archimède.

Les taureaux blancs joints aux noirs, dit-il, remplissent un carré.

Or il y en a :

B+N = 10366482k + 7460514k   soit : 17826996k.

Nécessité donc de choisir k en sorte que cet entier soit un carré.

On décompose 17826996 en produit de facteurs irréductibles :

17826996 = 2x2x3x11x29x4657 = 4x3x11x29x4657.

D’évidence, k doit donc « transformer » en le multipliant le produit 3x11x29x4657 en un carré et donc être de la forme :

k = 3x11x29x4657xq² = 4456749q²

Le problème est donc reporté sur q.

Or il reste une condition encore : … que les bruns et les tavelés réunis forment, un seul étant au premier rang, une figure triangulaire. Ce qui signifie que s’il y a r rangs, ils sont successivement composés de 1, 2, 3, 4, …, r taureaux et constituent donc une « multitude » de : (1 + 2 + 3 + 4 + … + r) taureaux.

La formule est classique : 1 + 2 + 3 + 4 + … + r = r(r+1)/2

Ce qui fournit la relation : M + T = r(r+1)/2 où s’introduit l’entier à déterminer r.

Soit : 11507447k = r(r+1)/2

Ou encore :  r² + r –23014894k = 0  Equation classique du second degré.

Son discriminant : D= 1² – 4x(-23014894)k = 1 +4x23014894k devra être un certain entier  carré qu’on note : s².

On décompose en produit de facteurs irréductibles 23014894 :

23014894 = 2x7x353x4657

Et en remplaçant k par son écriture : k = 3x11x29x4657xq² , on obtient :

s² = 1 + 2x3x4x7x11x29x353x4657²q²   qu’on écrit :

s² -  2x3x4x7x11x29x353x4657²q² = 1

Ce type d’équation : s² - Aq² = 1 aux inconnues entières (s,q) à coefficient entier A  est une équation dite « de Pell-Fermat » , dont la forme générale est :  x²-Ay² = B , où les nombres entiers inconnus (et cherchés) sont x et y, avec A un nombre entier positif non carré donné et B un nombre entier quelconque donné.

Ce problème de détermination arithmétique est très ancien, la recherche systématique de ses solutions s’étalant de Diophante (IV° siècle de l’ère chrétienne) à la fin du XIX° siècle où elle a définitivement abouti.

John Pell (1611-1685) n’aurait laissé son nom sur le trajet qu’au bénéfice d’une fausse attribution de recherche, ne s’étant pas occupé directement de l’affaire. Rien de ce qui est arithmétique n’était étranger à Pierre de Fermat (1601-1665) et il est assez naturel par contre qu’on trouve là  sa signature.

La plaisanterie d’Archimède .

Pour notre affaire, la résolution exhaustive de : s² -  2x3x4x7x11x29x353x4657²q² = 1, exige des méthodes très sophistiquées dont je ne dirai rien de plus, sinon qu’en termes de résultats, elle débouche sur des déterminations de p et de q  gigantesques et, in fine, vers 1880, sur la mise en évidence d’une « plus petite solution » du problème  estimant l’ordre de grandeur du troupeau à 7,76x10²⁰⁶⁵⁴⁴ têtes, soit exhaustivement, 776 suivi de 206542 zéros.

La superficie de la Sicile (la Thrinacie de l’antiquité) est évaluée à 25711 km², soit 2,5711x10¹⁰ m². Le plus petit troupeau possible répondant aux conditions de l’énigme renverrait donc à une occupation de la Sicile par des vaches et des taureaux à raison d’environ 3x10²⁰⁶³³⁴  (3 suivi de 206334 zéros !) bêtes au m².

C’est évidemment insensé et Archimède en s’amusant à cela n’a guère milité en faveur des mathématiques comme outil permettant de résoudre des difficultés du concret !

Mais comme il s’est rattrapé par ailleurs avec sa baignoire, sa poussée et son Euréka ...

Et Joyce ?

Ah, oui, c’est vrai, Ulysse, chapitre XIV ! Je m’égarais … De fait, ma lecture du chapitre doit remonter à six à huit semaines et je vois que je n’ai là encore pas noté grand-chose. Une remarque de vocabulaire, à propos de brehaigne (stérile) que le traducteur a choisi et qui est rarement employé et quelques indications d’humeur, que je reproduis :

… des pages assez délirantes, d’abord dans un style pseudo-médiéval à tendance  rabelaisienne, puis progressivement rétabli dans une tonalité moderne, épanchements par vagues qui nécessiteraient une étude plus approfondie que les bilans d’une lecture cursive pour prendre sens. On se laisse porter par la houle avec pour principal souci de remplir le contrat initial : n’en pas sauter une ligne.

En page 610, cette fort judicieuse analyse de Joyce sur ce qu’il est en train d’écrire : « une barguigneuse, encyclopédique et chaotique chronique »

A ne déchiffrer ni l’allemand, ni – sauf gros efforts, adossé au Gaffiot – le latin, la navigation à travers le texte est assez incertaine.

Ainsi en page 611 : « Que dit donc Zarathustra ? Deine Kuh Truebsal melkest Du. Nun trinkst Du die suesse Milch des Euters. (…) Allons, vieux patriarche ! Tette ! Per deam Partulam et Pertundam  nunc est bibendum ! »

Pourquoi Tette et non Tète ?

Pour  Zarathustra, en note dans l’édition de La Pléiade : « Tu trais ta vache Affliction. Maintenant tu bois le doux lait de son pis »

Pour l’injonction latine : « Il faut boire maintenant, par Partula et Pertunda ! », où ces deux déesses font partie des « Di indigetes » latins (les dieux des origines de Rome, non importés des autres cultures)  respectivement déesse de la naissance et de la durée de la grossesse des femmes et déesse de la défloration.

Partula est attestée par Tertullien (écrivain latin chrétien de Carthage ;155-220) et Pertunda par Arnobe (écrivain berbère de langue latine ; 260-327) repris par Saint-Augustin (354-430) [source : Wikipedia]

Plus remarquable encore, en page 582, on avait eu droit à  « Talis ac  tanta depravatio hujus seculi, Ô Quirites, ut matres familiarum nostræ lascivas cujuslibet semivir libici titillationes testibus pondesoris atque excelsis erectionibus centurionum Romanorum magnopere anteponunt », soit, à peu près : « Je vous le dis, citoyens de l’antique Rome, la dépravation du siècle est telle que nos mères de famille en sont à préférer de beaucoup les caresses maniérées d’un freluquet venu d’ailleurs aux couilles bien pleines et aux érections triomphantes d’un centurion romain ».

Accents céliniens de nouveau – on l’a précédemment noté – pour un départ en fanfare avec la ferme intention de faire la bombe, dès le « Nunc est bibendum!» (Maintenant, il faut boire !)  prononcé. Qui s’est inspiré de qui ? Le droit d’aînesse sera pour Joyce.

Au bout du compte et sur ces 65 pages –là, quel intérêt dans ce délire ? Un exercice  de style un peu vain ?