Comme un charme vieillot ...

Je feuilletais dimanche le supplément Magazine du Monde du week-end. On regarde les images, on lit un ou deux articles, la page Livres, avec la chronique assez souvent tonique de Christophe Donner et la colonne en regard qui présente deux polars en collection poche.

D’ailleurs, c’était un bon cru cette page Livres, ce coup-ci. Donner y présentait les petits textes de Thomas Bernhard réunis sous le titre Mes prix littéraires que vient de publier Gallimard. Je me suis hâté d’acheter. On en reparlera. Et j’ai même poussé l’audace jusqu’à m’offrir, côté polars, tant le billet de présentation signé Y.P. était déculpabilisant, le dernier Maxime Chattam  édité par Pocket: La théorie Gaïa. Il faut s’informer sur tout. De cela aussi, on reparlera .

Et puis, dans mon effeuillage du Magazine,  je jette un œil, of course, sur l’Affaire de logique de la semaine. Les thèmes relèvent trop souvent pour mon goût du jeu de construction ou du  dénombrement de situations. Je lis l’énoncé, je hoche la tête, et je n’y pense plus. Mais là, séquence nostalgie ! Un petit problème de géométrie (très) élémentaire, à l’ancienne, un joli petit exercice accessible avec les outils des classes de lycée des années 1950. Je n’ai pas résisté.

J'ai refait la figure sur une page d'écolier ...

Pourquoi diable le triangle PQR est-il toujours équilatéral ?

La figure sous contraintes qu’impose l’énoncé se bâtit simplement en notant que si les angles aux sommets des triangles isocèles APC, CQB et ARB mesurent 120°, alors, tous les angles à la base de ces triangles mesurent 30°.

Se construit donc nécessairement, à partir d’un segment [AB] quelconque, le losange AR’BR, de diagonale [AB], dont la seconde diagonale [R’R] est portée par la médiatrice de [AB]. L’angle en A du losange étant de mesure 60°, le triangle isocèle AR’R est même équilatéral ce qui assure l’égalité de longueurs : AR=R’R.

On a choisi un point C quelconque sur [AB].  Pour d’évidentes raisons angulaires  (angles en A et C des triangles CAP et BCQ de même mesure ; de même les angles respectivement en C et B de ces triangles)  le quadrilatère PR’QC est un parallélogramme. D’où l’égalité de longueurs : PC=R’Q.

Les triangles APR et R’QR se retrouvent donc relever du « vieux » cas d’égalité des triangles : Un angle égal compris entre deux côtés égaux. D’où se déduit immédiatement : leur égalité et : PR=QR.

D’où se déduit aussi que l’angle en R du triangle PRQ, construit « comme » l’angle en R du triangle ARR’  à partir de l’angle en R du triangle PRR’, puisque les angles en R respectivement des triangles égaux (on dit plutôt « superposables », aujourd’hui) ARP  et R’RQ ont même mesure, est un angle de 60°.

Le triangle isocèle PRQ, d’angle au sommet 60° est donc un triangle équilatéral.

Ce qu’il fallait démontrer (C.Q.F.D.)

Evidemment, l’épée que l’on la sort du fourreau est un peu rouillée, mais elle tranche encore. Une version plus « moderne » de l’affaire s’attachera à montrer qu’il existe une similitude de centre R qui permet de passer du triangle ARR’ au triangle PRQ, ce qui, par l’équilatéralité du premier, assurera celle du second.

On peut conserver la preuve « élémentaire » ci-dessus de l’égalité de longueurs : AP=R’Q.

On peut ensuite parler de rotation de centre R et d’angle 60° pour justifier que RR’Q est l’image de RAP par cette rotation. D’où RQ=RP et l’égalité des angles en R des triangles ARP et R’RQ.

À partir de là, la similitude directe (homothétie-rotation) de centre R qui fait passer de A à P fait passer de R’ à Q. PRQ est l’image de ARR’ par  cette similitude. C.Q.F.D. bis.

Récréation de troisième âge … Dans ces années 50 auxquelles je faisais référence, le professeur de mathématiques chargé de la classe de Math-Elem du lycée de Talence (Gironde) était le débonnaire et formidable M. Rocher. Que ces lignes potaches lui soient à cinquante ans de distance un hommage reconnaissant.