Sur deux exercices du Monde… (Suite)
Avertissement : la discussion « calculatoire » est à « bac+1 »
Tant que j’y suis, autant terminer ça…
Je rappelle le deuxième énoncé en question :
Un chat est au centre d’une pièce circulaire de 10m de rayon. Il aperçoit une souris qui se tient près du mur. Evidemment, il s’élance vers elle !
La souris se met à courir le long du mur à vitesse constante et toujours dans le même sens. Le chat court à la même vitesse que la souris en restant constamment sur le rayon joignant le centre de la pièce à la position de la souris.
Quelle trajectoire le chat décrira-t-il ?
Rattrapera-t-il sa proie ?
Si oui, quelle distance aura-t-il parcourue avant de l’attraper ?
L’autre jour, je m’en étais tenu à l’interprétation directe qui conduit à faire courir le chat à la même vitesse « v » que la souris, le long d’un rayon du cercle dont celle-ci définit l’extrémité et qui tourne en même temps qu’elle galope.
Du coup, la trajectoire du chat est une spirale d’Archimède et il est de fait animé d’une vitesse qui est la résultante de sa vitesse radiale v et d’une vitesse « latérale » de grandeur v2t/10 induite par la rotation du rayon centre-souris le long duquel il se déplace (composition de deux mouvements). Sa « vraie » vitesse en tant que mobile sur sa « vraie » trajectoire (spirale d’Archimède) est donc en fait supérieure à v, vitesse de la souris sur le cercle-mur.
On peut alors se demander ce que donnerait une autre interprétation (par ailleurs moins naturelle ( ?) – nous verrons ça mardi prochain ) qui retiendrait comme égale à celle de la souris la « vraie » vitesse du chat sur sa trajectoire.
Du coup, on ne connaît pas celle-ci dont on va chercher l’équation polaire r=r(q) en maintenant le même principe de représentation, mais par nécessité avec une vitesse radiale du chat qui est devenue variable.
Avec des notations différentielles classiques, quand le rayon centre-souris a tourné de l’angle dq, le chat se déplace radialement de dr=r’(q)dq et « latéralement » de r(q)dq. Par composition (Pythagore), son déplacement différentiel est de grandeur [r’2+r2]1/2dq. Dans un même intervalle de temps il doit être égal au déplacement différentiel de la souris par la contrainte d’égalité des deux vitesses. Or sur son cercle-mur, la souris s’est déplacée de 10dq.
On en déduit :
[r’2+r2]1/2dq=10dq ;
soit : r’2+r2=100 ;
soit : r’2 =100-r2 ;
soit (le chat s’éloigne constamment du centre de la pièce, r croît et r’ reste positif) :
r’/[100-r2]1/2=1
soit (par r’=r’(q) ; c’est q la variable): q=Arcsin(r/10) (r et q simultanément nuls)
soit : r=10sinq.
L’arc de trajectoire correspondant à la poursuite est donc l’arc [0,p/2] (pour atteindre sinq=1 par q=p/2) de la courbe d’équation polaire ci-dessus (r=10sinq).
Mais cette courbe n’est autre … qu’un cercle !
En mettant en place un repère cartésien classique {O ;Ox,Oy} avec O au centre du cercle et Ox passant par la position initiale de la souris, les relations usuelles : x=rcosq, y=rsinq donnent immédiatement à partir de r=10sinq comme équation cartésienne de la courbe :
x2 + y2 = 10y ou x2 + y2 - 10y = 0
soit :
x2 + (y-5)2 = 25
… où l’on reconnaît le cercle de centre O’, point de coordonnées x=0,y=5 situé au milieu du rayon du cercle de rayon 10 ayant pivoté de 90° par rapport à la position de départ de la souris.
La trajectoire du chat obtenue est donc simplement un demi-cercle du cercle de rayon 5 tangent intérieurement au cercle-mur en un point pivoté d’un quart de tour à partir du point de départ de la souris.
La souris est rattrapée « tangentiellement » par le chat après un quart de cercle de sa course .
Evidemment, dans l’interprétation ici retenue, le chat et la souris, courant à la même vitesse « vraie » sur leurs trajectoires respectives, parcourent dans des temps égaux des distances égales ce que confirme la distance parcourue par le chat comme longueur d’un demi-cercle de rayon 5, qui est aussi la longueur du quart de cercle de rayon 10 que parcourt la souris dans sa fuite, de mesure en mètres 10p/2 (c-à-d. 5p), soit environ 15,7m.
La simplicité même du résultat peut (doit ?) conduire à considérer qu’il était avec un peu plus de « nez » (que moi … !) possible d’y « penser » sans calcul, à charge ensuite de contrôler que dans des déplacements à vitesses égales du chat sur le « petit » cercle et de la souris sur le « grand », l’alignement {O, chat, souris} est constant. Or … :
Si D est la position de départ de la souris, le rayon OD est tangent au cercle-trajectoire du chat qui lui est au départ en O. Quand la souris, au bout d’un temps T est en un point S, le chat est en un point C, tous deux sur leurs trajectoires respectives. L’angle (OD,OC) de mesure qc est moitié de l’angle au centre (O’D,O’C) (angle « tangente, corde » d’un cercle et angle au centre associé) qui a donc pour mesure 2 qc. Soit qs la mesure de l’angle (OD,OS).
Le chat et la souris (vitesses égales) ont parcouru la même distance :
5.( 2 qc)=10 qs
soit : 10qc=10 qs
soit : qc=qs. L’alignement {O, chat, souris} est bien directement acquis.
Oui, finalement, ce bricolage basé sur une intuition préalable du résultat (cercle de rayon moitié tangent intérieurement au grand) et suivi d’un contrôle de respect des contraintes est davantage dans l’esprit Busser-Cohen. Ma foi, c’est peut-être bien cette approche qu’on va découvrir mardi…..
Wait and see …
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