Compétences Citoyennes - Suite (II)

AVERTISSEMENT : Ce texte est la suite du texte Compétences Citoyennes - Suite (I) qui, matériellement et dans l’organisation du blog, ……… le suit.

Je disais (cf. Compétences Citoyennes – Suite (I)) …………..

Au delà encore ? 

Et bien, au delà, on rencontre, le problème de l’aptitude de la calculatrice à manipuler de grands nombres. Les limites de cette aptitude ne permettent pas de pousser plus loin le travail. Il faut alors changer totalement d’approche et ……… se décider à raisonner !
C’est en ce sens que la requête «Déterminer un entier tricarré de 20 chiffres» est intéressante : elle n’est pas compatible avec les démarches exploratoires-calculatoires précédentes. Il faut théoriser si on veut continuer à être exhaustif. Le Monde n’opte pas pour cette démarche et, à la recherche d’un seul résultat, utilise un « tâtonnement intelligent » et réfléchi (s’y reporter le cas échéant) pour exhiber quasiment «à la main»:

24999000019999800001=4999900001²={2499900001}{9999800001}={49999²}{99999²}

Je me contenterai ici (Le Monde l’évoque) de donner quelques indications sur les principes d’une résolution générale qui repose sur la notion de «Triplets pythagoriciens».

Un triplet d’entiers (a,b,c) est dit pythagoricien si (a,b,c) est solution de l’équation de Pythagore (VI° siècle avant JC): a² = b² + c² … Ce qui revient à dire que {a,b,c} mesurent respectivement l’hypoténuse et les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle.
Platon (~429 - ~348) avait calculé une infinité de tels triplets mais c’est Euclide (environ: ~315 - ~255) qui en a fourni la détermination générale sous la forme :

a = k(d²+e²) ; b = 2kde ; c = k(d² - e²) ;
où k, d, e, sont des entiers, d et e n’ayant pas la même parité.

Le problème posé des entiers tricarrés se rattache à cette question de triplets pythagoriciens lorsque la « longueur » 2n des tricarrés cherchés est multiple de 4 (donc lorsque n est pair).
Ainsi, dans la question «Exhiber un entier tricarré de 20 chiffres» : n=10.
Le problème se réduit à la recherche de a, b, c tels : a² = b² + c² avec b=B00000, où B et c sont deux entiers dont le carré s’écrit : avec 10 chiffres pour B (qui doit donc être compris entre 31 622 et 99999);avec au plus dix chiffres pour c (qui doit donc être inférieur à 99999 et, rappelons le, non nul).

Ainsi, par identification, la solution du Monde correspond à :

2kde=4999900000 ; k(d²-e²) = 99999 ; k(d²+e²) = 4999900001 … soit …
kde=2499950000 ; k(d²-e²) = 99999 ; k(d²+e²) = 4999900001 … avec …
99999=9x11111=9x41x271=k(d-e)(d+e)

Cherchons à identifier « en » (k, d, e) pour reconnaître entièrement la solution donnée à partir de son écriture « théorique ».

Examinons :            2499950000=2x2x2x2x5x5x5x5x5x49999=2⁴x5⁵x49999=kde

49999 est un nombre premier (n’a aucun autre diviseur que 1 et lui-même) ; si k n’est pas réduit à 1, ses diviseurs se retrouvent dans l’écriture indiquée : 2⁴x5⁵x49999 ; mais k doit diviser 4999900001, qui n’est pas divisible par 49999, donc k non plus ; par ailleurs k ne peut être divisible ni par 2 ni par 5 qui ne divisent pas 99999, que k doit diviser.
Finalement : k=1 . Donc : de=2⁴x5⁵x49999=2499950000
Avec : (d-e)(d+e)= 9x41x271=1x99999=9x11111 = 41x2439 = 271x369
Donc : ((d-e),(d+e))=(1, 99999) ou (9, 11111) ou (41, 2439) ou (271, 369)
Connaissant (d-e) et (d+e) on obtient directement d par demi-somme et e par demi-différence.
D’où les choix : (d, e) = (50000, 49999) ou (5560, 5551) ou (1240, 1199) ou (320, 49)
Il est immédiat de contrôler que seule la première possibilité redonne : de=2499950000.
La dernière vérification ne crée pas de difficultés :
d²+e²=50000² + 49999² = 4999900001

BILAN. 

À partir de l’écriture en triplets pythagoriciens : (k(d² + e²))²= (2kde)² + (k(d² –e²)²
des solutions attendues au problème des entiers tricarrés à 20 chiffres, Le Monde a isolé (par «essai-erreur») la solution :

(50000² + 49999²)² = (2x49999x50000)² + (50000² – 49999²)²

(III) Palindrome des âges .

« Esope reste ici et se repose »

Voilà – et sans doute le plus connu – un palindrome : mot, terme, expression, phrase… qu’ on peut lire, à l’identique, dans les deux sens (de droite à gauche comme de gauche à droite).

L’énoncé jouait avec ceci : Un père et son fils (les âges sont notés avec deux chiffres, donc un enfant de 9 ans a 09 ans et on exclut les pères centenaires !) ont des âges respectifs tels que lorsqu’on les écrit côte à côte, ils forment un palindrome. Exemple, un père de 41 ans et son fils de 14 : 4114.

Question : Quels sont les différents cas possibles ? 

Il suffisait de « lister » les écritures répondant à l’énoncé, en restant crédible quant à l’âge qu’avait le père à la naissance du fils. Il vient immédiatement les seuls cas :

9009 , 9119 , 9229 , 9339 , 9449 , 9559 , 9669 , 9779
8008 , 8118 , 8228 , 8338 , 8448 , 8558 , 8668
7007 , 7117 , 7227 , 7337 , 7447 , 7557
6006 , 6116 , 6226 , 6336 , 6446
5005 , 5115 , 5225 , 5335
4004 , 4114 , 4224
3003 , 3113
2002

On peut faire quelques remarques d’évidence : (1) dans tous les cas, le père a procréé à l’un des âges suivants {18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81}, âge multiple de 9, âge qui détermine alors la différence constante des âges des protagonistes ; (2) les années d’anniversaires « palindromiques » (les âges forment un palindrome) se succèdent tous les 11 ans et se lisent en diagonale montante dans le tableau ci-dessus ; (3) c’est la procréation à 18 ans qui assure le plus long cycle « palindromique », et la procréation à 81 ans le plus court .

On peut un peu « théoriser » les remarques (1) et (2) comme suit :

(1)   à partir de l’écriture-palindrome abba, l’âge de la procréation se calcule par :

ab-ba = 10a + b – (10b + a) = 9(a-b).          Cet âge est bien multiple de 9.

(2) Si l’année N, le père et le fils ont fêté des anniversaires « réalisant » le palindrome abba, la prochaine année (N + e) de ce type les verra fêter la configuration cddc, le laps de temps e=cd - ab (variation de l’âge du père) étant égal au laps de temps e=dc-ba (variation de l’âge du fils).
D’où :

e=10c+d – (10a + b)=(10d + c – (10b + a)

Si on ajoute les deux expressions de e : 2e=11(c + d – a – b)

Cette écriture fait apparaître 2e donc nécessairement e comme multiple de 11. La périodicité des anniversaires palindromiques est bien de 11 ans.

BILAN … DES COMPÉTENCES CITOYENNES ( ?)

Inviter le « public » à jouer avec de tels exercices, c’est finalement lui supposer un certain type de compétences. Celles mobilisées par (I) et (III) sont modestes, mais si on veut aller au fond des choses, renvoient à un premier niveau de formalisation (usage des lettres) et à la connaissance de quelques règles de base du calcul algébrique (distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction, effet d’un changement de membre sur les signes dans les équations, les égalités, règle des signes ou changement de signe devant une parenthèse, ..) qui sont usuellement bien vite considérées comme cabalistiques .

Doit-on dès lors intégrer ces mécanismes à des acquis de « Socle commun » ? Avec prudence me semble-t-il… Il faut quoi qu’il en soit pouvoir désosser l’exercice (I) pour ne pas tomber dans le piège des « mathématiques magiques », porte ouverte à toutes les manipulations. Il faut donc bien comprendre le mécanisme des écritures décimales, bien comprendre que multiplier par 2, puis par 50, c’est multiplier par 100, etc. Cela peut se faire pratiquement sur exemples. La compréhension précédente est suffisante pour dominer, avec un peu d’attention, dans son explicitation de toutes les situations et des remarques y afférentes l’exercice (III).

L’exercice (II) pose d’autres problèmes. Peut-on espérer intéresser tout le monde à une recherche gratuite comme celle des entiers tricarrés ? Cela me semble tout à fait douteux. Néanmoins, connaître le théorème de Pythagore doit faire partie des acquis communs (avec la règle dite « des maçons » : un triangle ABC de côtés AB=3, BC=4, AC=5 est rectangle en B ) et la recherche des tricarrés à 2, puis 4 chiffres doit pouvoir être faite par tous, en tâtonnant, et dans le cas de 4 chiffres, en comprenant qu’on s’intéresse en nombres entiers à une écriture de triplets pythagoriciens:

a² = (10b)² + c².

Pas évident à trancher tout ça, n’est-ce pas ?