Sur une remarque de Catalan (Eugène -  X 1833)

(référence : Revue des Anciens élèves de l'Ecole Polytechnique - janvier 2019)

"Le sextuple de tout nombre impair est la somme de trois carrés non nuls".

1- On fait fonctionner explicitement cette observation sur les nombres impairs compris entre 0 et 20.

6x1 = 22 + 12 + 12

6x3 = 42 + 12 + 12

6x5 = 52 + 22 + 12

6x7 = 52 + 42 + 12

6x9 = 62 + 32 + 32

6x11 = 82 + 12 + 12

6x13 = 72 + 52 + 22

6x15 = 82 + 52 + 12

6x17 = 72 + 72 + 22

6x19 = 82 + 52 + 52

2 – Résultats admis :

a) Théorème des quatre carrés de Lagrange : Tout entier naturel est somme d'au plus quatre carrés.

 b) Résultat de Gauss-Legendre : Les nombres pour lesquels le recours à trois carrés ne suffit pas sont les nombres qui peuvent s'écrire : 4q(8r-1), avec q et r entier naturels.

  & - Identité à démontrer (immédiat) : (3a)2 + (3b)2 = (2a + 2b)2 + (2a – b)2 + (2b – a)2

3 – A l'aide des résultats de 2, validation de la remarque de Catalan .

Tout nombre impair s'écrit : 2p+1

Son sextuple s'écrit : 12p+6

Il est congru à 2 modulo 4

Par Lagrange, il est somme d'au plus quatre carrés. Peut-on se contenter d'au plus trois carrés?

Pour q et r entiers naturels:

si q>0, 4q(8r-1) est congru à 0 modulo 4

si q=0, 4q(8r-1) est congru à 7 modulo 8

Constat : 12p + 6 est congru à 2 modulo 4 et à 4p+6 modulo 8

p, mod 8

0

1

2

3

4

5

6

7

4p, mod 8

0

4

0

4

0

4

0

4

4p+6, mod 8

6

2

6

2

6

2

6

2

Donc, quels que soient q, r, 12p+6 n'est jamais de la forme 4q(8r-1)

Par Gauss-Legendre, on peut donc décomposer 12p+6 en somme de trois carrés au plus.

Peut-on garantir trois carrés non nuls?

Un seul carré? Non: (2k)2 est congru à 0 modulo 4 et (2k+1)2 est congru à 1 modulo 4.

Deux carrés?

(2k)2 + (2k+1)2 est congru à 1 modulo 4. Exclu

(2k)2 + (2k')2 est congru à 0 modulo 4. Exclu

(2k+1)2 + (2k'+1)2 est congru à 2 modulo 4. Pas exclu.

Par l'identité démontrée en 2, si on dispose de la somme de deux carrés non nuls de multiples de trois, on peut les remplacer par la somme de trois carrés non nuls.

12p + 6 est congru à 0 modulo 3.

2k + 1 et 2k' + 1 sont interchangeables. On examine les cas possibles :

{2k+1, 2k'+1} mod 3

{0,0}

{0,1}

{0,2}

{1,1}

{1,2}

{2,2}

(2k+1)2+(2k'+1)2, mod 3

0

1

1

2

2

2

(2k+1)2 + (2k'+1)2  ne peut s'écrire 12p+6 que si les deux carrés sont carrés de multiples de 3.

Donc, si 12p+6 peut s'écrire comme somme de deux carrés non nuls, on pourra aussi l'écrire comme somme de trois carrés non nuls d'entiers naturels par :

12p+6 = (3a)2 + (3b)2 = (2a + 2b)2 + (2a – b)2 + (2b – a)2

12p+6 = (2a + 2b)2 + (abs(2a – b))2 + (abs(2b – a))2

Exemple :

6x27 = 162 = 92 + 92 = (3x3)2 + (3x3)2 = (2x3 + 2x3)2 + (2x3 – 3)2 + (2x3 – 3)2

6x27 = 122 + 32 + 3

Finalement, le sextuple (12p+6) de tout nombre impair (2p+1) peut toujours se décomposer en somme de trois carrés d'entiers naturels non nuls.