ÉLÉMENTS SIMPSON (III)

5) PI (je vais noter : p)

Les boîtes de conserve sont souvent cylindriques. Si, avec soin et à l'aide d'une ficelle, vous en mesurez la circonférence et que vous avez trouvé (je suppose, en cm) la valeur P, puis si, avec une règle graduée, vous mesurez de votre mieux le diamètre de la boîte et trouvez la valeur D, il ne vous reste plus qu'à prendre un papier, un crayon et à diviser P par D.

Vous aurez obtenu selon toute vraisemblance  un chiffre après la virgule pour P comme pour D ; la division à la main n'est pas insurmontable; contentez-vous de la pousser jusqu'à la deuxième décimale pour pouvoir correctement arrondir ensuite sur la première. Je vous rappelle que si la deuxième décimale est {0, 1, 2, 3, 4}, vous vous contentez de l'oublier et que si elle est {5, 6, 7, 8, 9}, vous ajoutez 1 à la première avant d'oublier la deuxième.

Ainsi : 4,23… s'arrondit sur une décimale à 4,2 tandis que 4,26… s'arrondit à 4,3.

Je fais l'expérience de mon côté:

Une petite boîte d'épinards en branches est dans mon garde-manger. J'ai pourtant horreur des épinards. Mais ma femme … Bon, ceci est une autre histoire.

P = 26,6

D = 8,4

P/D = 26,6/8,4 = 266/84

Or: 266 = 2x7x19 et 84 = 2x6x7

P/D = 19/6 = 3,166….

Arrondi sur une décimale: P/D = 3,2

Je viens de déterminer expérimentalement une valeur approchée de p

En effet, le périmètre du cercle est donné en fonction de son diamètre par : P = pxD

Soit : p = P/D.

Si vous êtes prof de maths en collège, vous donnez pour mission à votre classe de sixième de procéder  (chacun chez soi) à cette petite expérience et de vous en ramener pour le lendemain les résultats. Vous disposerez ainsi d'une grosse vingtaine de valeurs approchées de P/D dont vous pourrez faire la moyenne pour avoir l'estimation collective de la classe concernant la valeur du nombre p.

Vous pourrez même en profiter pour introduire la notion de série statistique et, outre la moyenne, la médiane (valeur séparant la série préalablement classée par ordre de valeurs croissantes en deux parties de même effectif (demi-somme des 12^ième et 13^ième résultats si vous en avez 24  et 13^ième résultat si vous en avez 25 ), et l'amplitude (écart entre les deux résultats extrêmes) .

Mon 3,2 n'est pas si mauvais pour ce qu'on sait être l'arrondi "vrai" de p sur une décimale : 3,1.

3,17 qui serait mon arrondi sur deux décimales est encore mieux, comparé à l'arrondi "vrai" équivalent de p : 3,14.

On sait que la suite des décimales de p est illimitée et que leur répartition est totalement aléatoire en ce sens qu'on ne peut y relever aucune régularité dans le retour des chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} qui s'y succèdent. A l'époque où l'élève ignorait la calculatrice, on pouvait lui faire retenir les décimales jusqu'à la dixième par la phrase : Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages, où le dénombrement successif des lettres des mots employés (Que=3; j=1; aime = 4; à = 1; etc.) fournit : 3,1415926535. La 11^ième décimale étant 8, il ne s'agit pas ici d'un arrondi (lequel serait : 3,1415926536) mais d'une troncature (on a tronqué la série des décimales sans examiner la suite).

La littérature concernant p est gigantesque. Simon Singh fournit quelques détails amusants (dont l'origine de la lettre grecque (que je ne parviens pas à obtenir ici ce matin!)  pour désigner le quotient de la mesure de la circonférence du cercle par la mesure de son diamètre). Je m'en tiendrai à mes petites remarques techniques.

6) 3987¹² + 4365¹² = 4472¹²    Egalité? Pourtant, comme l'a énoncé Fermat : …

…. Ce qui n'empêche pas l'égalité "d'Homer" ci-dessus d'apparaître dans un épisode des Simpson.  Ce n'est bien sûr qu'une quasi égalité.

Une calculatrice de type lycée (ici une - vieille - TI 82) affichera successivement :

3987¹² = 1.613447461x10⁴³                                                 (1)

4365¹² = 4.784218174x10⁴³                                                 (2)

4472¹² = 6.397665635x10⁴³                                                 (3)

4472¹² – (3987¹² + 4365¹²) = -1,202x10³³                           (4)

(3987¹² + 4365¹²)^1/12 = 4472                                                (5)

(3987¹² + 4365¹²)^1/12 – 4472 = 6,9x10^-9                                     (6)

La ligne (3) est en toute apparence (!) le résultat exact de l'addition des lignes (1) et (2). L'égalité "d'Homer" semble validée. Mais à la ligne (4), on voit la calculatrice expliquer que si elle affiche bien l'égalité, celle-ci n'est qu'apparente, puisque la différence des deux résultats est en fait de l'ordre de 10³³ (soit: 1 suivi de 33 zéros, ou encore, un million de milliards de milliards de milliards).

Autre façon de voir, la ligne (5). On a demandé (membre de gauche) à la calculatrice de calculer la puissance 1/12 (la racine douzième) de 3987¹² + 4365¹², c'est-à-dire, de nous indiquer le nombre qui, élevé à la puissance 12, donne pour résultat 3987¹² + 4365¹². Et la réponse est : 4472. Là encore, victoire apparente pour Homer.

Mais quand on lui demande en ligne (6) d'afficher la différence entre ce 4472 issu de ses calculs internes et le 4472 tapé simplement au clavier, elle affiche un résultat non nul. Faible sans doute (de l'ordre de 7x10^-9, soit de l'ordre de 10x10^-9 c'est-à-dire 10^-8, soit 1/100 000 000), mais enfin non nul.

Ces hésitations tiennent au fait que la calculatrice utilise plus de précision qu'elle n'en affiche et qu'au moment de l'affichage, elle fait des arrondis sur le dernier chiffre affiché. On a donc des égalités apparentes que l'affichage des chiffres suivants et cachés mettent en défaut.

Le pseudo contre-exemple d'Homer (car l'affirmation de Fermat (vers 1660) sur la non existence, pour n>2, d'un triplet de nombres entiers x, y et z tels que : xⁿ + yⁿ = zⁿ a été définitivement démontrée en 1994 par le britannique Andrew Wiles) a été obtenu à l'aide d'un programme informatique de balayage de quadruplets d'entiers (x, y, z, n) jusqu'à obtention d'une concordance des résultats fournis pour xⁿ + yⁿ d'une part, zⁿ d'autre part, suffisante pour une égalité apparente.

Pour limiter les essais, les orienter vers une zone favorable, l'auteur a dû faire montre d'un peu d'habileté.

Mais enfin, un lycéen armé de sa calculatrice peut, en réfléchissant, se diriger déjà vers des résultats encourageants …

L'algorithme suivant, par exemple, transportable ensuite sur sa machine en en respectant les instructions de programmation, permet d'avancer :

X, Y, R, Z, N : entiers

Saisir X

Saisir Y

Saisir N

R reçoit X^N+Y^N

Z reçoit Int(R^1/N)      {Int est la fonction partie entière; pour tout réel positif x, Int(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Exemple: Int (6,87)=6}

Afficher R

Afficher Z

Afficher Z^N

                                               Avec cette petite séquence, itérable autant que souhaité, on peut dégager rapidement, à propos d'un éventuel { X⁹+Y⁹ = Z⁹} des affichages tels que celui-ci (tentative de départ "à vue de nez" …):

1345⁹+1678⁹ = 1,198742538x10²⁹

1702⁹ = 1,19849438x10²⁹

(1345⁹ + 1678⁹)^1/9 = 1702,039153

La différence est sans doute importante, et affirmer à partir de là: 1345⁹+1678⁹ ≈1702⁹ , c'est faire - derrière la bonne volonté qu'est l'identité des quatre premiers chiffres - une approximation de l'ordre de 2,5x10²⁶ soit 10²⁶ !!!

Mais enfin, on n'est pas passé loin de 1702 et, encouragé malgré tout, le lycéen motivé peut bâtir un nouvel algorithme en espérant trouver, localement, quelque chose de plus intéressant. Par exemple, il peut essayer  d'explorer  X de 1320 à 1370 et Y de 1650  à 1700 (autour, donc, de (1345, 16778)) dans le but (et l'espoir) de trouver un meilleur Z pour une quasi vérification de : X⁹+Y⁹ = Z⁹

Variables : A, B, C, Test, X, Y, I, R, Z

A, B, C reçoivent 0                {la valeur 0 est arbitraire}

Test reçoit 1                          {la valeur 1 est assez arbitraire; on veut un test "petit"}

Pour X de 1320 à 1370

Faire

Pour Y de 1650 à 1700

Faire

R reçoit X⁹ + Y⁹

Z reçoit Int (R^1/9)

I reçoit R^1/9 – Z

Si I<Test

Faire

A reçoit X

B reçoit  Y

Test reçoit I

C reçoit Z

Fin Faire

Fin Faire

Fin Faire

Afficher A, B, C, T

                                               Mis en œuvre (après programmation sur la calculatrice) cet algorithme fournit comme optimum local en {X, Y, Z}, autour du premier résultat {1345, 1678, 1702}, le triplet {1337, 1658, 1683}:

X = 1337

Y = 1658

Z = 1683

I = 7,53292x10^-5

Et à l'affichage de la calculatrice : (1337⁹ + 1658⁹)^1/9 = 1683,000075

(1337⁹ + 1658⁹)^1/9-1683 est de l'ordre de 7,5x10^-5, soit de l'ordre de 10^-4.

L'affichage est maintenant :

1337⁹ + 1658⁹ = 1,083321142x10²⁹

1683⁹ = 1,083320705x10²⁹

et ce sont les 6 premiers chiffres qui sont identiques. L'approximation est de l'ordre de 4x10²², soit 10²²… mais on a quand même, de 10²⁶ à 10²², divisé l'erreur par 10 000!