Polémique Scolaire: La Géométrie ...

C’est Luc Cédelle, journaliste au quotidien Le Monde, qui m’a (re)lancé (sans le savoir) là-dessus. Dans le blog qu’il tient (Interro Ecrite – http://education.blog.lemonde.fr) en marge et en complément-prolongement  de  son activité professionnelle, ce  ‘‘Nul-en-Maths’’ auto-proclamé a relayé récemment le mouvement de protestation qui agite les milieux enseignants occupés de la chose à propos du projet de programme de mathématiques (Mars 2009 - Classe de seconde générale et technologique) que le ministère a mis en circulation (et en ligne : http://eduscol.education.fr/prog).

On crie à l’assassinat de la géométrie et on signe de la pétition avec une certaine ardeur semble-t-il à presque tous les niveaux où tâche de (et peine à…)  s’affirmer et se transmettre ce qu’on a pu définir (Aphorisme issu d’une sagesse populaire ? Affirmation de René Descartes ? Énoncé d’Henri Poincaré ? On trouve trace de paternités fort  variées…) comme « L’art de raisonner juste sur des figures fausses ». Le projet du ministère est il est vrai fort succinct en la matière, fort teinté  de pulsion calculatoire élémentaire en même temps que  maigrichon, avec l’esquisse d’un appel au secours et à l’aide en direction de  béquilles logicielles …

La géométrie prend du temps et sa portion, ici, semble certes bien congrue.

Mais je ne veux pas m’installer dans la déploration en marche. D’autres s’en chargent. Espérons qu’au-delà, ils pourront un peu redresser la barre. Non ; je voudrais seulement profiter de ce qu’au moment même où je prenais connaissance de la controverse, la proposition de  réflexion hebdomadaire du supplément Le Monde 2 offrait une occasion à la fois élémentaire et multiforme de « géométriser », occasion de nature à faire percevoir la richesse formatrice d’une discipline dont il faut maintenir au niveau modeste des lycées et collèges le caractère artisanal, quoi qu’il en soit des outils dont on peut l’entourer.

Voici le thème :

Les réponses, in fine, sont simples. Le point N décrit un demi-cercle de diamètre [AB] et la droite (MN) pivote autour du point fixe W qu’on pourrait dire … milieu de l’autre demi-cercle de diamètre [AB].

L’idéal est bien sûr d’arriver à ces résultats de façon élémentaire, par un raisonnement géométrique stricto sensu, qui ne relève ni de l’expérimentation d’un nombre de cas suffisant pour emporter la conviction (qui n’est pas une preuve), ni de la certitude du calcul analytique, outil cartésien puissant mais coupé des joies du réel, du concret, et … profondément frustrant, si on ne parvient pas à l’éclairer sur le terrain, pour l’ami (voire l’amoureux) des belles figures.

Mais comme il arrive souvent que la juste évidence ne saute pas aux yeux, c’est en acceptant les détours préalables plus compliqués du tâtonnement expérimental (au pouvoir bien entendu multiplié par les exploits du D.A.O. (Dessin Assisté par Ordinateur) ici refusés pour maintenir un peu l’usage du dessin que, comme le calcul mental ou papier-crayon, on ne doit pas faire  mourir des prouesses de l’informatique) et les  déploiements abstraits du calcul en repère orthonormé qu’on pourra conclure enfin comme le commissaire Bourrel : « Bon dieu, mais c’est bien sûr ! ».

Voyons, dessinons « à la main », quatre cas (les moins intuitifs en feront davantage) comme dans le schéma (I) ci-dessous. Ils sont numérotés de 1 à 4. Ils devraient conduire assez naturellement à « penser » au demi-cercle [AB] et à « voir » le point W.

Pourrait-on obtenir – et certifier - ces éléments par le calcul ?

Dans un repère orthonormé d’origine A et dont l’axe des abscisses porte le segment [AB], on aura classiquement un repérage en (x,,y). Exploitant l’abscisse m de M comme paramètre et introduisant L la longueur du segment [AB] on aura, repérés par leurs coordonnées : A(0,0), M(m,0), C(m,m) F(m,L-m) et B(L,0)

N(x,y) appartient à la droite (AF) d’équation : m.y – (L-m).x = 0                                           (1)

Par ailleurs N appartient aussi à la droite (BC), d’équation : m.(x-L) – y.(m-L) = 0     (2)

Pour définir le lieu géométrique de N (la courbe décrite) par son équation il suffit d’éliminer  le paramètre « m » entre les équations (1) et (2).

On obtient facilement : x² + y² – Lx = 0

On reconnaît l’équation du cercle de centre w (L/2, 0) et de rayon L/2 c’est-à-dire du cercle de diamètre [AB]. Par construction, N est  dans le demi-plan supérieur défini par (AB) : y≥0 . N décrit le demi-cercle de diamètre [AB] dans ce demi-plan.

On pouvait calculer à partir des équations (1) et (2)  les coordonnées paramétrées de N.

On obtient : N( L.m²/[m²+(L-m)²] , m.L.(L-m)/ [m²+(L-m)²])

On peut à partir de là  mettre en place l’équation de la droite (MN) en écrivant que son point générique de  coordonnées (x,y) et les points M et N sont alignés. On obtient :

x.(L²-L.m) – y.(3L.m – L² – 2m²) –m.(L²-L.m) = 0

Pour définir un point (x,y) appartenant à cette droite « pour toute valeur de m », on réorganise l’équation  « en m » :

(2y+L).m² – (3L.y + L.x + L²).m + L².(x+y) = 0

Le point W(x = L/2, y  = -L/2) dont les coordonnées vérifient :

0 = 2y + L = 3L.y + L.x + L² = x + y 

répond – et il est le seul – à la question.

Le calcul a confirmé et validé les indications de l’étude expérimentale.

Mais quid d’une solution géométrique directe ?

On  examine le schéma (II) ci-dessous.

Les droites (AC)  et (ME) sont diagonales des carrés ADCM et MFEB respectivement et à ce titre parallèles, toutes deux inclinées à  45° sur (AB), dont elles se déduisent en direction  par pivotement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans le carré MFEB, l’autre diagonale (BF) est perpendiculaire à (ME). Dès lors, (BF) et (AC) sont perpendiculaires et donc  (BF) est hauteur issue de B dans le triangle ACB.

Trivialement, (CM) est hauteur issue de C dans ce même triangle.

Point d’intersection de deux hauteurs, F est l’orthocentre de ce triangle et donc (AF) est la troisième hauteur, issue de A.

Le  triangle ANB est ainsi rectangle en N et l’on sait qu’alors N appartient au cercle de diamètre son hypoténuse [AB]. Le lieu géométrique de N cherché (la courbe décrite par N) s’en déduit (je résume la réciproque : reconstruction de la figure à partir de N quelconque sur le demi-cercle supérieur : N, puis (BN) puis (AC) à 45°, qui définit C par intersection avec (BN), puis M, projeté orthogonal de C sur [AB], puis (AN) qui définit F par intersection avec (CM) ; F est ainsi construit comme orthocentre de ACB d’où (BF) perpendiculaire à (AC) et donc  (BF) inclinée à 45° .  Les carrés AMCD et MFEB sont remis en place et l’affaire est bouclée).

Reste le point fixe W (le tireur immobile).

De ce  que l’angle FNB est droit, on déduit que N appartient au cercle circonscrit au carré MFEB de diamètre [FB] (le triangle FNB est rectangle en N). Les deux angles inscrits dans ce cercle : MFB et MNB sont donc de même mesure car  ils interceptent le même arc d’extrémités M et B. Or MFB est un angle de 45°. Donc aussi MNB… ce qui fait apparaître (NM) comme bissectrice de l’angle droit ANB. Celui-ci est inscrit dans le cercle de diamètre [AB], interceptant l’arc d’extrémités A et B et on sait qu’alors sa bissectrice passera par le milieu W de l’arc intercepté. Celui-ci est fixe, indépendant de la position de  {M,N}. On a bien notre réponse.

Tâtonnements / dessin, géométrie analytique, géométrie pure …

Bien entendu, c’est la dernière solution qui épanouit le puriste, celle obtenue par les procédés de la géométrie pure. Mais les évidences de configuration qui la sous-tendent ne  sont pas nécessairement aisées à voir immédiatement et c’est l’ensemble des cheminements décrits qui, par leur convergence, y conduit et enrichit en une activité formatrice, rassemblant des outils très différents, un petit parcours de recherche vertueusement pédagogique.

Reste la question du temps.

Combien de temps pour guider un groupe-classe au long d’une telle promenade ?

Les nécessités de l’homogénéité des niveaux me semblent là  s’imposer.

On est au-delà d’une activité de « tronc commun citoyen » et dans une activité « d’excellence individuelle ».

Mais la démarche expérimentale (par le dessin) pourrait très bien concerner un groupe aux compétences inhomogènes, avec le souci de le faire aboutir à la satisfaction d’une belle figure, fortement inductive et la nécessité de lui faire prendre conscience que ce qu’il voit, ce qu’il devine, ne relève pas de la démonstration et, comme il en est dans un procès d’assise, ne constitue qu’un ensemble fort de présomptions, pas une preuve, qu’il appartiendra à des camarades plus spécialisés, sous la conduite du professeur, d’établir.

La discussion peut être ouverte sur ce dernier paragraphe, tant la multiplication des situations construites pourrait en venir à faire envisager la notion intermédiaire de quasi-preuve statistique ou de validation provisoire sous réserve de contre-exemple.

Etc.

Ah ! L’enthousiasmant dialogue avec les classes, quand il parvient à  s’éloigner de la  Journée de la Jupe et qu’il n’est que question d’y éveiller des esprits  …. Allons, il ne faut pas renoncer  à rêver.

Comments

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