05 octobre 2006
David Berlinski… David who ?
La vie rêvée des maths. Editions Saint-Simon. 10 euros.
J’ai acheté ça un peu par hasard, qui s’exhibait sur un présentoir au sous-sol de la Librairie Compagnie, rue des Ecoles, où je cherchais autre chose… Petit format, titre accrocheur, on feuillette. Il y a une préface de Michel Demazure, mathématicien de bonne renommée, ex-professeur à l’École Polytechnique, désormais Président de la Cité des Sciences et de l’Industrie. Ladite préface est élogieuse et vante, chez Berlinski, le vulgarisateur à la fois facétieux et profond, rigoureux et potache, qui va nous ouvrir les arcanes de la mathématique en nous assurant une hilarité résolument cartésienne . Il m’a semblé qu’il fallait absolument aller voir ça !
C’est un travail très curieux. Certes, on y parle de mathématiques, mais le fond technique des 354 pages que s’octroie l’auteur tiendrait, dans un manuel de classe terminale, puisque c’est en gros le niveau maximum requis, sur quatre ou cinq feuillets, et je suis large. Les concepts abordés sont des plus simples, et, paradoxalement, ils sont introduits de manière inexplicablement alambiquée, insérés dans des considérations pseudo-philosophiques qui font se demander si le « locuteur » se veut enseignant ou … gourou, si on est chez Descartes ou chez Michel Onfray. La digression est reine, pas toujours inintéressante au départ, mais engraissée de tant de notations dilatoires stratifiées qu’on y perd malgré tout le sens même du détour. Et comme la modestie n’est pas la qualité majeure de Berlinski, quand on croit que c’est fini, ça recommence .
« Je suis censé parler du théorème de Tychonoff mais je me retrouve, à ma grande surprise, en train d’expliquer le calcul élémentaire à une pièce remplie de mathématiciens en retraçant mentalement les étapes suivies par Bolzano pour définir la continuité ». Je copie là le seul passage (page 166) où il soit fait allusion (théorème de Tychonoff . Pour les amateurs : « Tout espace produit d’une famille d’espaces compacts est compact ») à des connaissances de type post-bac . Berlinski est un prédicateur furieux du socle commun ! Il traîne inlassablement sur le b-a-ba des évidences au motif qu’historiquement, ces notions ont été extrêmement longues à trouver leur place et du coup, il leur réinvente des approches imagières souvent discutables (les fonctions comme machines à fabriquer des saucisses).
C’est vrai, il a plusieurs fois le délire amusant, nous faisant les témoins de l’intimité chercheuse de quelques grandes figures de l’avancée scientifique, dans une vision d’ailleurs impitoyablement machiste du repos du guerrier : «La maîtresse de Rolle a fermé ses yeux de biche et s’est endormie depuis longtemps, ses cheveux noirs étalés sur la mousseline de leur unique oreiller, une bulle enfantine en formation sur ses lèvres rouges et pleines ». La vie privée de Michel Rolle (1652-1719), « inventeur » d’un théorème célèbre au cœur des apprentissages mathématiques est assez obscure, on l’admettra, pour autoriser tous les fantasmes … et l’assoupissement de la charmante décrit ci-dessus succède (« Michel, viens au lit ! ») à quelques vains appels à une libido totalement bridée par la question cruciale de la nullité de sa dérivée en un point intérieur à un segment aux extrémités duquel une fonction dérivable prendrait – hypothèse fascinante - une seule et même valeur !
Plus loin, c’est le grand Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) qui est arraché à la mélancolie d’une dépression de l’âge mûr par « les attentions d’une jeune et jolie femme (…), mathématiquement illettrée et plaisamment écervelée ». Lagrange qui, l’ayant épousée, « contrairement aux prévisions de ses amis, partagés entre l’indignation et l’envie », va pouvoir enfin réviser son grand traité de Mécanique analytique, « en mari éminemment gâteux (…) apaisé et tranquillisé par (…) le calme que procurent les satisfactions d’un lit conjugal (et) ces artifices sensuels qui tranchent si prodigieusement avec l’austérité des travaux mathématiques ». D’accord on sourit. Pourquoi pas ?
Berlinski réécrit l’Histoire et, quand nécessaire, l’écrit. Matheux rêveur et poète, sa Prague est moins celle de Kafka que celle de Bernhard Bolzano (1781 – 1848) qu’il envoie se promener « en marmonnant entre ses dents » sur le Karluv Most (le pont Charles), « portant l’étoffe de laine grossière d’un moine franciscain (…) silhouette débonnaire, replète et fantomatique (…) ». En marmonnant peut-être l’un de ses deux résultats passés à la postérité, celui affirmant que toute fonction continue réelle qui prend des valeurs de signes contraires en deux points s’annule au moins une fois entre ces deux points (Bon sang, mais c’est bien sûr !) ou l’autre, avec Karl Weierstrass (1815-1897) pour en assumer la co-paternité, qui nous raconte que de toute suite de nombres réels infinie et bornée, on peut extraire une suite convergente (Je sais, vous alliez le dire …).
Décidément, curieux bonhomme ce David Berlinski. Un tour sur Internet et on apprend qu’il est né à New York en 1942 et qu’il vit désormais à Paris, qu’il a un doctorat (Ph.D.) de philosophie estampillé Princeton, qu’il a pas mal enseigné les mathématiques et ladite philo dans nombre d’universités américaines, avec même un passage « par chez nous » à l’IHES (l’Institut des Hautes Etudes Scientifiques de la vallée de Chevreuse). On découvre aussi qu’il est contesté pour des prises de position plutôt pro-créationnistes et non-défavorables aux théories de l’Intelligent Design (le dessein intelligent) … et on le retrouve en vitrine de librairie pour la sortie récente d’un livre consacré à La Tentation de l’Astrologie. Aie ! Curieux décidément, avec de fortes odeurs de soufre ! Mark Perakh, un de ses contempteurs, souligne : « Berlinski’s writings are not scientific, but popular (…) and he has no known record of his own contribution to the development of mathematics or of any other science ». En clair : c’est un semi-charlatan qui n’a en rien fait progresser la science. Et la caution de Demazure alors ? Faudrait creuser ….
Là, sur le bouquin et sur le fond, la rigueur et la précision ne sont pas toujours au rendez-vous, même dans les annexes, qui veulent davantage approcher le raisonnement. La confusion règne en page 186 pour l’installation du théorème des valeurs intermédiaires, en page 231 pour distinguer maximum local et maximum global, en page 261 où la lettre « b » a deux sens distincts, en page 323 où la notation intégrale avec bornes est fautive et aberrante …. Détails ? Coquilles peut-être, sans doute …
Quand même, il faut être singulièrement hasardeux pour avancer (en page 343) que « la distance et l’aire sont liées, ne serait-ce que par les nombres qui servent à les désigner » ! À ce compte là, même chose pour la distance et le prix de la pomme de terre !
Bah ! C’est malgré tout un livre qu’un prof de maths lira – pouvant y exercer furieusement sa critique - avec plaisir, mais dont je doute qu’il puisse - et c’est le paradoxe car c’était à l’évidence sa vocation - vraiment nourrir un autre public. On n’y apprend pas des mathématiques, mais on peut, informé – condition selon moi sine qua non –, y passer quelques bons moments. Et, livre fermé, revenir à la question lancinante : Mais bon dieu, pourquoi Demazure … ? Dupond, Durand, professeur de collège, ou de lycée, oui, mais Demazure ? Victor Hugo disait, pour justifier ses passages à vide : « Il n’y a pas de montagne sans vallée …». Berlinski, vallée de Demazure ?
Commentaires
Maths en primaire
Je vous soumets un paragraphe d'une somme que j'entrepends d'écrire autour de mon expérience d'instit'. Lecteur régulier de votre blog, j'en apprécie la mesure et l'acuité. J'espère ne pas vous importuner avec ces mots qui arrivent sur un terrain déjà si encombré. Mais comme vous goûtez aux maths, est ce que je dis peut interresser quelqu'un en dehors de mes trop indulgents amis?
Je rassemble mes paragraphes sous le titre:
Faire classe
Recettes fin de primaire et courtes de récré.
Pour souligner l’acte concret, élémentaire qui matin après matin fit les bonheurs de ma vie.
Pour jouer avec la prescription insistante que j’adressais à mes élèves :
« éviter le paresseux verbe faire ».
Pour mesurer le chemin parcouru, les reniements perçus, les espérances maintenues.
Pour essayer de surmonter les nostalgies aux doigts coupés.
Remercier une jeune enseignante qui fut mon élève.
Mathématiques
Jadis matière reine, les maths ont connu bien des bosses mais aujourd’hui il y a peu de problèmes. Il est loin le temps des expériences aventureuses mais brèves provoquées par la mathématique moderne. Il y eut des séquelles d’incompétences notoires dans la vie courante pour ceux qui furent exclusivement nourris aux inclusions et patates, qui ignorent ce que représentent 33 cl de bière. La leçon de cette catastrophe, engendrée quand les chercheurs prennent seuls le pouvoir, est-elle intégrée ? J’ai gardé de ce temps une approche d’autres bases de numération que la décimale pour mieux comprendre, prendre du recul par rapport à 99+1= ? Dire qu’il fallait quinze séances à ce sujet dans le temps ; au XXIième siècle c’est acquis en deux heures : le niveau monte. Les chiffres de l’O.C.D.E. sur ce terrain et les médailles Field attestent de la bonne santé de la matière.
Apprendre à vivre avec l’incertitude est devenu une injonction et tous les jours nos convictions sont ébranlées, la précarité est loi. Alors quel apaisement d’aborder la contrée des nombres incontestables, des lignes claires, des jardins ordonnés même si pour les démarches :« peu importe la couleur du chat pourvu qu’il attrape les souris ». Quand la vérification du résultat tombe juste : quel plaisir et quand il a fallu transpirer que de satisfactions !
« La terre était informe et vide ; les ténèbres recouvraient l’abîme…Dieu dit : " que la lumière soit ! » et la lumière fut. Et dieu vit que la lumière était bonne… » La genèse
Livrets
- Un livret pour le calcul rapide et le calcul mental : grilles vierges pour révisions de tables, cadres pour les réponses aux thèmes progressifs abordés un jour sur deux : les évolutions sont notées par les élèves. De petits problèmes à résoudre aussi sans poser d’opération. Une partie autocorrective pour quelques techniques opératoires. Rapidité.
- Un livret pour les problèmes et exercices, scannés dans une multitude d’ouvrages d’auteurs différents pour éviter le formatage. Hauts cris des éditeurs ! Mais leurs propres enfants téléchargent musique et films sur la toile. Vaste hypocrisie qui interdirait à une classe toute écoute d’un quelconque disque. Diversité.
- Un cahier de maths pour exercice quotidien à la main.
Pas de manuel, mais des livrets d’artisan où les élèves écrivent, calculent. Constitués après des années de photocopies réalisées au jour le jour, et puis scanner aidant, des outils clairs et maniables qui évitent les collages surabondants qui donnaient l’aspect double-cheese aux cahiers d’antan. Concrétise une programmation sur l’année qui n’exclut pas des recours plus personnalisés et approfondis sous l’appellation « maths plus » réservés aux élèves en difficulté.
- Un livret pour les défis maths. Douze séries de dix situations mathématiques à résoudre en groupe en une heure.
Samedi, délicieux samedi, la classe est partagée par affinités en cinq équipes : « les gunners » « les pros des maths » « les mouettes »…Une heure pour recueillir le maximum de points en plus ou en moins des 100 points alloués. Certaines des dix réponses rapportent plus que d’autres (de 3 à 15 points). Chaque équipe décide de mettre un joker sur la réponse la plus sûre qui double les gains ou les pertes. En règle générale l’émulation est évidente car c’est rarement la même équipe qui gagne, des suffisances ont été ébranlées. Les énigmes sont variées dans les domaines de la numération, des mesures, de la logique, de la numération, des opérations. J’ai trouvé chez les éditions Retz qui proposent ces problèmes judicieux le meilleur moment pour un travail en équipe qui ne soit pas un simulacre. Sur ce terrain, c’est une entreprise efficace, coopérative, évolutive. Un seul ne peut pas tout résoudre : nécessité de se répartir les taches, négociations. Une confiance au début aveugle est assurée à celui qui s’est gagné une réputation de « fort en maths » mais à être bousculé par le temps, il peut se tromper. Il faut vérifier, se mettre d’accord. La forme habile des problèmes induit que chaque réponse doit être validée par d’autres. Le lent, le maladroit peut apporter sa fraîcheur pour accoucher de la bonne réponse et mériter sa petite part de gloire dans un domaine inattendu pour lui. Gagner de la confiance. Pédagogie de l’enseignement mutuel qui passe par d’autres mots, d’autres cheminements que la parole de l’adulte. Stimulés par le temps qui semble souvent trop court, le frisson de la compétition qui n’atteint pas les perdants dans leur individualité mais stimule les vainqueurs et incite à la correction les étourdis, lecteurs inattentifs ; moments de travail intense, bourdonnant. Ce zèle s’éteindra peut- être pour quelques-uns uns ; privilège de l’instit : j’ai goûté à ces moments de grâce :
Ce rituel du samedi était attendu, il a débouché plusieurs années sur une compétition au niveau national qui couronnait l’année et là toute la classe ne faisait qu’un.
« avoir un bon copain
c’est tout ce qui a de meilleur au monde » J. Boyer
Le cérémonial quotidien est assez immuable, a-t-il contribué à ce que ces heures se passent sans ennui manifeste ?
- Au moment des révisions de tables ; sur le bristol personnel de la table de Pythagore, le voisin qui interroge barre les réponses exactes, le propriétaire noircit ces cases et abandonne cette aide quand tout sera noir.
- Entraînement sur ardoise : deux groupes dans la clase : est/ouest. Claquements de mains. Réveil mathématique. Classique des classiques. Vite.
Moi qui ai peu d’habileté en calcul rapide, j’en imposais de plus en plus à l’heure des calculatrices. Celles-ci ne sont pas dédaignées. A utiliser par exemple pour des rafales de problèmes. Elles ne nous dispensent pas de réfléchir, au contraire : est-ce que la réponse est vraisemblable ? Evaluation, opérations pertinentes. Outil pour mieux appréhender des mécanismes : la réitération des soustractions pour mieux comprendre la division.
Du fait de mes inhibitions, de mes faiblesses en maths, je fus plus bienveillant et peut être plus efficace avec les élèves en détresse.
- Introduction de la notion nouvelle, en s’appuyant sur des situations concrètes, si possible amusantes. Je jouais beaucoup sur des dessins « humoristiques »au tableau comme j’avais prisé ceux d’un de mes professeurs.
- Il peut y avoir de bonnes vidéos et je verrais bien une courte séquence de sauts en longueur à la télé dont les résultats introduiraient une séance sur le classement des décimaux. Ecran plat dans la classe ou vidéo projecteur : on ne se refuse rien.
- Tâtonnements sur le bloc sténo.
- Entraînement sur les livrets. Répétition correction.
- Trace sur le cahier
- Correction individuelle si possible. Les cahiers fautifs sont corrigés ensemble, ceux qui « ont bon » passent à leur travail personnel. Prolongement « maths plus » pour ceux qui accumulent encore beaucoup d’erreurs. Si plus de la moitié de la classe n’a pas acquis : c’est moi qui ai mal mesuré la marche : il faudra ralentir, revenir.
- Aujourd’hui il y a des sites bien faits sur le net qui renouvellent les approches : peuvent être séduisants pour le soutien. Mais problème d’encadrements si les ordis ne sont pas à proximité de la classe. Les emplois - jeunes pouvaient alors être plus que des auxiliaires s’il y avait place dans les plages horaires.
Schéma idéal juste avant la récré du matin. Les années m’ont amené à être plus rigoureux sur le respect de l’emploi du temps. Combien de fois avais-je trop débordé au détriment d’autres matières pour une efficacité presque nulle ? Il vaut mieux garantir une heure de dessin, les mathématiques n’en pâtissent pas, la mauvaise conscience est une conseillère impérieuse et juste.
Géométrie :
- Un porte- vues recueillait chaque semaine un recto-verso A3 où la place pour les tracés est assez ample. Il y a pour certains beaucoup d’aller-retour pour rendre un travail soigné. Le bloc sténo rend encore des services pour s’entraîner.
J’ai pu vérifier ce qui me semblait fantaisiste : un enfant qui vit dans un environnement exigu est souvent plus maladroit. Les lignées bien fournies ne tirent pas toujours les lignes bien droites. Bien dotés: nous avions de grandes tables dans la pièce attenante, elles étaient propices à des soutiens en petits groupes en enseignement mutuel ou magistral.
Rép. G.C.
Chacun de nous s'enivre de l'appel du "dire". Dire ce qu'on a aimé ou ce qu'on a haï. Transmettre aussi. Reste à trouver la forme. Le blog est une issue, et la possibilité d'une offre sans demande. Le lecteur fait - ou pas - son miel.
Voilà au fond la réponse. Ne pas se demander: "Qui vais-je intéresser?". S'en tenir seulement à: "Que me sens-je sommé de dire?".
Quant à la "contrée des nombres incontestables" - jolie formule au demeurant - il y a en mathématiques aussi des propositions "indécidables", comme il y a en logique des assertions "ni vraies - ni fausses", le célèbre: "Demain, il y aura une bataille navale".
Impressionné
Impressionné par le sérieux des réflexions.
Berlinski again...
David Berlinski vient de sortir en France "Une brève histoire des maths". Il rappelle un désopilant passage concernant le n° du taxi de Hardy rendant visite à Ramanujan : 1729 ! Il semblerait que tous les mathématiciens connaissent ? Bon c'est vrai 1729 est le plus petit entier qui soit de deux manières différentes la somme de deux cubes (10 et 9 d'un côté fort simple en décimal et de 1 et 12 de l'autre). Cependant Berlinski aurait pu s'nterroger sur la primalité de 1729 (car quand on a deux décompositions distinctes en somme de deux puissances paires, donc in fine de deux carrés, le nombre n'est pas premier). Effectivement 1729 n'est pas premier car valant le produit de 7x13x19. Chacun notera le fort pouvoir de l'astronumérologie kabbalistique (je plainsante...) de cette suite car tout nombre premier est de la forme 6n plus ou moins 1 et ici 7=6+1, 13=2x6+1 et 19=3x6+1, tous premiers et on sera forcément subjugé par le fait que le suivant 19+6=4x6+1 n'est nullement premier puisque 25 nombre pythagoricien par excellence 25=5 au carré et somme des carrés de 3 et 4. (l'équerre arithmétique originelle). Néanmoins 7, 13 et 19 appartiennent à trois catégories de nombres distincts modulo 8 et l'on peut prolonger le fameux théorème d'Euler des deux carrés selon ces ctégories et non plus modulo 4 seulement :
Si p=8k+3 alors p est premier ssi il s'écrit de manière unique p=a**2 + 2x b**2 (a et b entiers premiers entre eux).
Si p=8k+5 alors on retrouve Euler en écrivant p= a**2 + 4xb**2 (mêmes conditions sur a et b)
Si p=8k+7 alors p est premier ssi il s'écrit de manière unique p = a**2 - 2xb**2 (a et b premiers entre eux et - condition dite alfrédienne - 2xb**2
Si p=8k+1 alors p est premier ssi il a une unique décomposition dans chacune des formes précédentes.
Ce résultat traine de manière séparée dans divers bouquins de maths à titre d'exos.
Par contre vous ne trouverez nulle part la double conjecture d'Euzenius : "Tout nombre entier impair i s'écrit i = a**2 + 2xb**2 + 4xc**2 et i = r**2 - 2xs**2 + 4xt**2 (avec 2xs**2
Ne demandez pas la démonstration à Berlinski, même dans une boule de cristal elle paraît plus que coton ! On observera que la conjecture positive induit le célèbre théorème des quatre carrés dit de Lagrange.
Bonne chance à ceux qui voudraient se lancer dans la démonstration....
Euzenius de Fribourg, mathématicien suisse.
rectificatif
La condition alfrédienne n'est pas passée dans le commentaire précédent. Il faut lire 2xb**2 (et plus loin 2xs**2) strictement plus petit que p (sinon il y en a une infinité équivalentes)
Euzenius
Aux oubliettes!
Je ne saurais que vivement conseiller à quiconque possède un esprit scientifique, d'éviter de TRES loin tout ce qui se rapproche de Berlinsky et du Discovery Institute. J'en ai perdu moi-même quelques neurones. D'un autre côté, c'est un sujet rêvé pour l'étude de l'hypocrisie et de la stupidité humaine...
à bon entendeur!
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