Il y avait comme chaque semaine quelques mathématiques dans Le Monde de mardi 16/5. Je regarde toujours ça – quand je le regarde – en me posant la question « pédagogique » : pourquoi tant de gosses sont-ils dégoutés par ‘les maths’ ? . Et comment tant d’adultes traversent-ils la vie – j’ai des exemples familiaux – avec un abandon résolu de tout effort de réflexion dès qu’ils perçoivent dans la question posée – à tort ou à raison – ‘des maths’ ? Au point d’être en difficulté pour calculer une augmentation de 20% ou le résultat de la succession de deux augmentations, l’une de 17% et l’autre de 28% (qui en font une seule – soyons précis – de 49,76% : vous y êtes ?) ou encore d’une augmentation de 40 % suivie d’une baisse de 33% (qui donne au total une baisse de 6,2% : toujours d’accord ?).

Difficile de répondre. Là, on nous posait une question – réponse officielle mardi 23 prochain !- très « concours général » . J’entends par là – et c’est un classique dudit concours – une question jouant sur le millésime de l’année en cours .Il s’agissait (il s’agit !) de montrer que le nombre obtenu par la soustraction : 444…44111…11 – 555…55,  est un carré parfait (est le carré d’un certain nombre, c'est-à-dire son produit par lui-même : 4=2x2 est le carré de 2 ; 25=5x5 est le carré de 5 ; etc. On note : 4=22 ou 25=52 etc.) et de trouver ledit carré. Dans l’énoncé, les pointillés sont là pour indiquer qu’il y a un grand nombre de 4, de 1 et de 5, et on nous précise : exactement en tout et chaque fois 2006 (le millésime !).

J’indique une voie, un cheminement.

On commence par décomposer : 555…55 = 111…11 + 444…44

L’écriture de départ devient : 444…44111…11 – 111…11 – 444…44

Soit : 444…44000…00 – 444…44

On remarque : 444…44000…00 = 444…44x1000…00

444…44x1000…00 = 444…44x102006

La notation 102006 est conventionnelle :

101 = 10 ; 102 = 100 ; 103 = 1000 ; 104 = 10 000 ; etc. Capito ?.

0n peut donc « mettre en facteur » 444…44 dans l’écriture de départ:

444…44000…00 – 444…44 = 444…44x102006 – 444…44 

444…44x102006 – 444…44 = 444…44x(102006 – 1)

On s’occupe alors de : 444…44 qui se lit :

4 + 40 + 400 + 4000 + 40000 + ----- + 400…00

Soit : 4x(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 + ----- + 100…00)

Soit : 4x(1 + 101 + 102 + 103 + 104 + ----- + 102005)

Au programme des classes terminales :

1 + q + q + q2 + q3 + ----- + qn = (qn+1 – 1)/(q -1)

Où le slash (/) désigne le trait de fraction. On applique avec q=10 et n=2005 …

Donc, ici :

4x(1 + 101 + 102 + 103 + 104 + ----- + 102005) = 4x(102006 – 1)/9

Finalement, l’écriture de départ se lit :

444…44x(102006 – 1) = (4x(102006 – 1)/9)x(102006 – 1)

Soit : 4x(102006 – 1)x(102006 – 1)/9

Soit : 4x(102006 – 1)2/9 ou mieux : 22x(102006 – 1)2/32

C'est-à-dire : (2x(102006 – 1)/3)2

Le nombre fourni au départ est le carré parfait de : A = 2x(102006 – 1)/3 

On simplifie l’écriture car, évidemment :

102006 – 1 = 999…99 = 3x333…33

Donc, avec simplification par 3 :

(102006 – 1) / 3 = 333…33

Et : A = 2x333…33 ou mieux : A = 666…66.

BILAN : 444…44111…11 – 555…55 = 666…662

Alors ? Intéressé(e) ou dégouté(e) ? Au fond, (presque) toute la question des mathématiques est là. Il en est que ça amuse, il en est que ça agace … Jusqu’où faut-il obliger les agacé(e)s à faire semblant – souvent mal – de s’amuser ? Et comment les persuader de l’intérêt d’un « machin » qui – comme ici – ne semble guère déboucher sur une amélioration de la compréhension du quotidien ? On peut répondre (j’ai parlé plus haut de cheminement) comme dit le bouddhisme zen : « Le but, c’est le chemin » et donc que tout l’intérêt est dans le fonctionnement neuronal intermédiaire, pas dans le résultat obtenu … Hmm … Convaincant face à l’appel de la console Nintendo ?

Le même numéro du journal « corrigeait » l’exercice de géométrie de la semaine précédente. Je ne fais pas ici de figure et la géométrie sans schéma, ça reste acrobatique … Donc en général, rien à en dire. Mais ce coup-ci, pourquoi pas ? C’est un exercice de formation usuel que celui qui consiste à produire un discours en demandant à l’interlocuteur de le visualiser, mentalement, puis concrètement, papier-crayon. Là, il s’agissait de déterminer le milieu d’un segment [AB] en ne disposant que d’une règle plate non graduée. Vous imaginez le double décimètre du gamin, mais où tout s’est effacé…

Technique :

1- placer un bord de la règle le long de [AB] et grâce au bord opposé , tracer une droite (D) parallèle à la droite (AB).

2- choisir un point P à l’extérieur de la bande limitée par les deux droites (AB) et (D)

3- Tracer la droite (PA) – Elle coupe (D) en un point que vous appelez U

4- Tracer la droite (PB) – Elle coupe (D) en un point que vous appelez V

5- Tracez les droites (AV) et (BU) – Elles se coupent en un point que vous appelez Q

6- Tracez la droite (PQ) – Elle coupe (AB) en  un point que vous appelez  I

Voilà, c’est fini. Le point I que vous venez d’obtenir est le milieu de [AB]. Accessoirement, votre droite (PQ) a coupé (D) en J qui est le milieu de [UV].

Vous pouvez essayer. Prenez une feuille et un stylobille, ça peut même se faire « à main levée » pour avoir une idée. Je laisse tomber la justification, qui utilise la définition de l’homothétie, notion qu’on découvre au lycée . L’avantage de la technique décrite, c’est qu’elle relève du «truc » dans sa simplicité d’exécution et que, contrairement à l’exercice précédent sur les nombres, on peut imaginer que Robinson Crusoé, ayant sauvé du naufrage  une latte de parquet pas trop gondolée par l’eau de mer qui lui ferait une (grande) règle, pourrait en avoir l’utilité pour quelque détermination de milieu dans la construction de son ‘home – sweet home’ insulaire. Il y a peut-être là une lueur du côté du « à quoi ça sert ? ».

Restons avec Robinson. Il aura sans doute aussi besoin d’une équerre ou plutôt d’une méthode pour faire des angles droits. Sûr que ça sert, dans le bâtiment ! Et bien, supposons qu’il ait sauvé une corde, un bon bout de corde. Il fait un nœud à une extrémité. Il l’appelle A. Puis un deuxième nœud, disons à une trentaine de centimètres de A (ça s’estime à vue de nez et la distance est en fait sans importance réelle) qu’il appelle B. En repliant la corde sur elle-même, pour mesurer des intervalles égaux en longueur à AB, il va pouvoir faire encore les nœuds C, puis D , puis E puis F, avec les morceaux [BC], [CD], [DE], et [EF] tous, comme je l’ai suggéré, de même longueur que [AB]. D’accord, en gros, il faut que sa corde fasse au départ dans les deux mètres. Si elle est plus courte, il partira d’un [AB] plus petit et voilà tout. Faut s’adapter. Enfin, il y est, il a son instrument « à faire des angles droits ».

Maintenant, il a marqué au sol un point qu'il appelle P et il veut un angle droit de sommet P. Il fixe le noeud A en P et en tirant pour que sa corde soit bien "droite", il marque au niveau du noeud D un deuxième point au sol qu'il appelle Q.

C'est fait?  Bien. Son segment [PQ] a pour longueur 3 s’il prend comme unité la longueur de corde AB. Toujours avec le nœud A de sa corde fixé en P et celle-ci bien tirée, il prend un bâton, se saisit dans la même main et du bâton et du nœud E et il trace au sol un cercle, qui aura donc pour centre P et pour rayon 4 (rappel : on considère comme unité la longueur AB). Il enlève son nœud A du point P, et il le fixe en Q. Il reprend son bâton, toujours avec la même main il saisit cette fois le nœud F, il tend bien sa corde et il trace le cercle de centre Q et de rayon 5.

Voilà, les deux cercles qu'il a tracés se coupent en deux points. Il en choisit un, qu'il appelle R. S'il trace avec sa latte comme règle l'angle de sommet P et de côtés passant respectivement par Q et R, cet angle est droit. Pourquoi ? Parce que Pythagore le lui garantit, enfin, son théorème, puisque le triangle PQR est tel que son côté QR (de longueur 5) et les côtés PQ (de longueur 3) et PR (de longueur 4) vérifient la relation : QR2 = PQ2 + PR2 . C’est la comptine : «Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés». Cette méthode est dite « du maçon » et effectivement encore en usage dans ce corps de métier. Mais si !

Robinson a fini sa maison. Il veut faire un bout de jardin et, amateur de rugby, il veut un parterre ovale. Qu'à cela ne tienne. Après la méthode "du maçon", celle "du jardinier"; qui trace, en fait d'ovale, une ellipse. La définition (dite «bifocale») de l’ellipse la présente comme « ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes (appelés « foyers ») est constante (égale à une grandeur donnée) ». Il faut que Robinson décide de la plus grande dimension de son parterre (c’est allongé un ovale ; sa longueur si vous voulez). Il prend une corde de cette longueur (il a donc sauvé une deuxième corde, car la première, avec ses nœuds, ne va pas être commode). Il plante deux piquets au sol (il les appelle A et C) auxquels il fixe les extrémités de sa corde. Il faut bien sûr que leur distance soit inférieure à la longueur de la corde. Plus ils seront éloignés l’un de l’autre, plus son ovale sera aplati, allongé. Plus ils seront voisins, plus son ovale semblera « arrondi ». Si ses deux piquets n’en faisaient qu’un, son ovale serait devenu un cercle (un cercle, c’est une ellipse particulière dont les deux foyers sont confondus !). Il n’a plus qu’à utiliser un bâton qu’il appelle B, avec lequel il tend sa corde en sorte que celle-ci matérialise deux côtés du triangle ABC. En déplaçant B, s’il maintient toujours la tension de la corde, la trace continue que son bâton laisse au sol est une ellipse et lui fait un bel ovale. Pour chaque position de B, la somme des distances de B aux piquets A et C est constante et égale à la longueur totale de la corde : la définition bifocale (A et C sont ainsi les foyers) de l’ellipse est respectée. On va s'en tenir là. L'ellipse, sous ses aspects théoriques, est étudiée en terminale scientifique.

Mais finalement, pour dire quoi, tout ça ? Peut-être simplement ceci : que les trois techniques géométriques décrites (le tracé du milieu – le tracé de l’angle droit – le tracé de l’ovale (ellipse)) pourraient bien, elles sont très simples à mettre en œuvre, faire partie en tant que telles des connaissances à acquérir en « Socle commun », sans rien de plus,  sauf à avoir donné un peu d’appétit à ceux qui veulent dépasser le « truc », la « règle », pour aller étudier dans des modules de spécialité et avec quelques développements, l’homothétie, la géométrie « de Pythagore », les coniques (dont fait partie l’ellipse). Un enseignement à deux vitesses, mais bien maîtrisées et dans le sens d’un « à la carte » positif en sorte ….

Quant à l’exercice de numération du début … non, il est tel quel trop pointu. Mais on peut très bien le ramener dans les eaux du « Socle », en le proposant par exemple  pour: 41 – 5 , immédiatement carré de 6, puis, 4411-55, qu’on découvrira sans trop de difficultés comme carré de 66. Et c’est en module de spécialité qu’on s’apercevra alors, avec acquisition de formules et démonstrations idoines, de la généralisation au cas où les 4, les 1 et les 5 interviennent tous écrits N fois, N étant un nombre entier quelconque .

Finalement, on est partis du  Monde et on a avancé quelques idées sur le Socle. Qui s’en plaindra ? Le lecteur ? Ah ! Oui, évidemment, c’est très moyennement « fun »… Tout se mérite !