Les Mathématiques de Yoko Ogawa (II)

Revenons un peu à notre professeur (La formule préférée du professeur - Actes Sud - Traduction de Rose-Marie Makino-Fayolle), après un résumé du livre et une première Leçon où j’ai surtout abordé les “Nombres complexes” à propos d’une formule d’Euler .

Je me pose d’ailleurs à ce propos la question itérative de savoir si la vulgarisation est vraiment une “utopie réaliste” et si, du rien au tout, de la méconnaissance à la maîtrise, il reste, accessible “par le haut”, c’est à dire en affadissant le produit fini, la possibilité de dire quelque chose de cohérent à un niveau intermédiaire, en escamotant les apprentissages préalables (ce qui serait une approche “par le bas”). Poser la question, c’est un peu y répondre par la négative , je le crains.... Mais la tentation est si grande, de transmettre et de traduire . Les pages “Sciences” des journaux sont pleines de tels essais. Avec quelle efficacité réelle?
Albert Ducrocq il n’y a pas si longtemps, journaliste scientifique enthousiaste, se vouait éperdûment à l’exercice. Jean-Pierre Luminet, astrophysicien au nom prédestiné, dans un petit livre sur “Les trous noirs” , s’est essayé à donner une forme simplifiée à l’espace-temps de la relativité générale, le réduisant à trois dimensions et en faisant un terrain de golf bosselé.... Imagé certes mais, “signifiant” pour qui ? Pour lui et quelques autres, physiciens et praticiens de cette structure abstraite, sans doute, mais globalement pas pour le pseudo “honnête homme” qu’il voudrait contribuer à former. On ne comprend sans le dénaturer, je le redoute, le complexe schématisé et appauvri que si on connaît et comprend le complexe... à l’état complexe! Un terrain de golf est un terrain de golf et l’espace-temps un concept abstrait probablement irréductible à la représentation. Mais je m’égare et puis, qui sait ... ?

Donc, Yoko Ogawa, derechef, et les goûts mathématiques qu’il prête à son professeur ....
Foin de l’Euler de la leçon n°1. On va être ce coup-ci dans la manipulation élémentaire (ce qui ne veut pas nécessairement dire “facile”), avec la multiplication pour outil principal.
Ce sont les “Nombres premiers” qui fascinent l’ancien pédagogue. Ils sont comme la colonne vertébrale de la grande famille des nombres entiers naturels , ceux avec lesquels on compte des objets et, en cas d’insomnie, des moutons. Avec eux, on fabrique (sauf le 0 et le 1) tous les autres, qui ne sont que les résultats des différentes multiplications qu’on peut en faire.

Le plus petit d’entre eux est 2 et c’est aussi le seul qui soit pair. En effet, un nombre premier, c’est par définition un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs distincts: 1 et lui-même (... définition qui exclut immédiatement que 1, pourtant le premier (presque, il y a 0 avant) des nombres entiers soit un nombre “premier” ). Sont ainsi successivement “premiers” : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... .
On sait démontrer que la suite des nombres “premiers” est illimitée et les ordinateurs galopent après le plus grand certifiable comme tel. Ce ne sera jamais le dernier de la liste, puisqu’elle est illimitée, mais il permettra quelque temps de se vanter d’être en possession du record! Le plus récent “plus grand”, découvert en décembre 2005, s’écrit avec plus de neuf millions de chiffres et dépasse ... l’imagination! J’en redis deux mots plus loin.

On a consacré d’énormes ouvrages aux nombres premiers. De petits opuscules aussi, et néanmoins fort savants. Dans la collection Que sais-je?, le n° 571 sera par principe notre modeste bible, dussions-nous ici ou là chercher des compléments ailleurs. Edité en 1953, rédigé par Emile Borel, forte personnalité des probabilités et de la physique mathématique, il a été réécrit par Jean Itard, bien connu des milieux enseignants, et réédité en 1969, avant une troisième (et actuelle) mouture, prise en charge en 1997 par deux notables mathématiciens spécialistes de la chose numérique, Gérald Ténenbaum et Michel Mendès-France. Les approches se sont progressivement “modernisées” et la théorie analytique des nombres plane sur la dernière réécriture. Les goûts du professeur iraient je crois plutôt vers la version “Jean Itard”, complétée - car le vieux maître s’intéresse aussi aux nombres composés (ceux qui “ne sont pas premiers”) - par un autre opuscule de 1963 et du même, toujours en Que sais-je? (sous le n° 1093), Arithmétique et Théorie des nombres .
Voilà en gros les bases “élémentaires” sur lesquelles on va donner quelques éclaircissements aux particularismes dont le livre de Yoko Ogawa est semé et dont le professeur qu’il met en scène est friand .

Mais d’abord :... avec les nombres premiers, on fabrique je l’ai évoqué (et sauf 0 et 1, données primordiales), tous les autres. On voit ainsi s’installer (les nombres premiers sont en rouge, les nombres composés en noir) : 0, 1, 2, 3, 4=2x2, 5, 6=2x3, 7, 8=2x2x2, 9=3x3, 10=2x5, 11, 12=2x2x3, 13, 14=2x7, 15=3x5, 16=2x2x2x2, 17, 18=2x3x3, 19, 20=2x2x5, 21=3x7, 22=2x11, 23, 24=2x2x2x3, 25=5x5, 26=2x13, 27=3x3x3, 28=2x2x7, 29, 30=2x3x5, 31,... Etc.

On voit apparaître (ci-dessus) la “décomposition” des nombres composés en “produits de facteurs premiers”. Ainsi : 20=2x2x5 ; on dira que les deux facteurs premiers de 20 sont 2 et 5 . De même les facteurs premiers de 18 sont 2 et 3. On fait intervenir la notion d’ordre de multiplicité : 16 n’a qu’un facteur premier, qui est 2, mais avec un “ordre de multiplicité” égal à 4 (on l’utilise 4 fois dans le produit). Ainsi, 24 a deux facteurs premiers, 2 et 3, avec un ordre de multiplicité égal à 3 pour le premier (il intervient trois fois dans le produit). Et dans 20, par quoi on a commencé, l’ordre de multiplicité du facteur 2 est égal à 2, et il est égal à 1 pour le facteur 5 qui n’intervient qu’une fois. Etc. Évidemment, par extension de vocabulaire, s’il n’y a qu’un facteur premier d’ordre de multiplicité égal à 1, c’est que le nombre est lui-même un nombre premier, identique à son facteur.

Tout nombre a pour diviseur 1: 0=1x0, 1=1x1, 2=1x2, 3=1x3, 4=1x4, etc.
Tout nombre a pour diviseur lui-même, par la même évidence.. et la même écriture!
0 a pour diviseur n’importe quel nombre : 0=0x0=1x0=2x0=3x0=4x0=5x0=6x0=... etc.
1 n’a qu’un diviseur: 1=1x1
Un nombre premier n’a que 1 et lui-même comme diviseurs soit deux diviseurs exactement.
Un nombre composé a au moins trois diviseurs. Pour les trouver tous, on peut bien sûr tâtonner, mais le plus efficace est de partir de sa décomposition en produit de facteurs premiers et d’y faire des produits partiels de facteurs.

Ainsi 234 a bien entendu 1 et 234 comme diviseurs. Mais 234 s’écrit : 234=2x3x3x13, ce qui met en évidence comme diviseurs 2,3 et 13 mais aussi, par regroupements :

6 car : 234=(2x3)x3x13 = 6 x3x13
9 car : 234=(3x3)x2x13=9 x2x13
18 car : 234=(2x3x3)x13=18 x13
26 car : 234=(2x13)x3x3=26 x3x3
39 car : 234=(3x13)x2x3=39 x2x3
78 car : 234=(2x3x13)x3=78 x3
117 car : 234=(3x3x13)x2=117 x2

... soit finalement pour 234 l’existence de 12 diviseurs : {1, 2, 3, 6, 9, 13,18, 26, 39, 78, 117, 234}. Parmi ces diviseurs, ceux qui sont différents du nombre lui-même sont dits “stricts” ou “propres”. Ainsi, 234 a 11 diviseurs “stricts” (“propres”) : {1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117}. Autrefois, on disait “partie aliquote” au lieu de “diviseur propre (ou diviseur strict)” .

Encore un point de vocabulaire. Là, on a installé les diviseurs d’un nombre. On peut aussi s’intéresser à ses multiples. Les notions ont tendance à se répondre. Quand j’écris (en focalisant l’attention sur 20 ) : 20 =4x5 , je montre que 4, et aussi 5, sont des diviseurs de 20. Mais quand j’écris la même chose en focalisant l’attention sur, par exemple, 4 , je peux dire (et je souligne) que 20 est un multiple de 4 (20=4 x5 ; pour obtenir 20, il a fallu “multiplier” 4 (sous-entendu: ...par un autre nombre)).

Bien, nous voici équipés pour démarrer. On y va ? On suit le professeur dans son “tango de l’aide ménagère” ?

Cela commence sérieusement en page 29 : admiration du couple {220 , 284}.

Ces deux nombres, que le professeur dit “amis” (cf. note plus bas: c’est une erreur de la traductrice) sont en fait appelés “amiables” ou “amicaux”. Cette dénomination est attribuée à deux nombres tels que la somme des diviseurs propres de l’un soit égale à l’autre.

Ainsi, sur un exemple simple, les diviseurs propres de 20 sont {1, 2, 4, 5, 10} , de somme 22. Est-ce que {20, 22} est une paire de nombres amiables? On regarde les diviseurs propres de 22: {1, 2, 11). Leur somme est 14 . La somme des diviseurs propres de 20 est 22 mais la somme des diviseurs propres de 22 n’est pas 20. Les nombres 20 et 22 ne sont pas amiables.

Examinons alors la paire {220, 284}. On a : 220=2x2x5x11 et 284=2x2x71

Diviseurs propres de 220: {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} Somme: 284
Diviseurs propres de 284: {1, 2, 4, 71, 142} Somme: 220

Donc : 220 et 284 sont des nombres amiables. Emerveillement du professeur!

La Grèce antique, friande de curiosités arithmétiques et qui maniait la notion, ne connaissait comme amiable que la paire {220, 284} qui est la plus petite constructible.

Au XVII° siècle, Descartes et Fermat (le professeur les cite, sans préciser) ont chacun dégagé “à la main” une paire : {17 296, 18 416} pour Fermat; {9 437 056, 9 363 584} pour Descartes. Niccolo Paganini (1782 - 1840), entre deux pizzicati, a exhibé la paire d’aspect plus modeste {1184, 1210}. Leonhard Euler (1707 - 1783) avait à lui seul trouvé 61 paires, dont une de l’ordre du billion (un billion vaut mille milliards) . Il y avait accédé via des produits “a priori” de nombres premiers. Il s’agit de la paire : {3x3x3x3x3x7x7x13x19x53x6959, 3x3x3x3x3x7x7x13x19x179x2087}

Depuis, l’ordinateur est passé par là!
Même si la configuration est rare - il n’y a que 42 occurrences entre 0 et dix millions - on a certifié à ce jour plus de treize mille paires . Aucune situation n’est connue appariant un nombre pair et un nombre impair et aucune règle générale de formation n’a été dégagée jusqu’ici.

Note complémentaire : ... en traduisant par “amis”, Rose-Marie Makino-Fayolle fait commettre un lapsus au professeur. La notion existe, mais autre . Deux nombres “amis” sont deux nombres qui sont dans le même rapport que les sommes de leurs diviseurs propres.
La paire {30, 140} est un exemple de nombres “amis”. Le rapport 30/140 est égal plus simplement à 3/14. Les diviseurs propres de 30 sont : {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15} , de somme 42.
Les diviseurs propres de 140 sont : {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70} de somme 196.
Or, 42=3x14 et 196=14x14. Le rapport 42/196 est donc égal plus simplement au rapport 3/14. Finalement , le critère annoncé est rempli (30/140 = 42/196) et les deux nombres sont bien “amis”.

Avec une remarque : Le rapport des sommes des diviseurs propres de deux nombres “amiables” est égal à l’inverse du rapport de ces deux nombres. Ainsi pour {220, 284}. Leur rapport est : 220/284 (inutile même de simplifier). Les sommes de diviseurs propres sont respectivement 284 et 220, donc de rapport 284/220, inverse du précédent. La seule possibilité d’égalité de deux rapports de nombres entiers naturels inverses l’un de l’autre est qu’ils soient tous deux égaux à 1, ce qui exige que les nombres soient eux mêmes égaux entre eux. Nos paires étant formées de nombres distincts.... deux nombres “amiables” ne peuvent pas être “amis” !

La vie (des nombres) est bien triste, penserait l’aide ménagère du livre......

En réalité, avant la page 29, en page 16, il y avait eu deux allusions arithmétiques dont on va quand même dire ... deux mots.

Le professeur annonce: “24 est la factorielle de 4”.
Il affirme un peu plus loin: “Il y a 5 761 455 nombres pemiers inférieurs à 100 000 000”.
Résultat avéré dans les deux cas.

24 est la factorielle de 4: ......... la factorielle d’un nombre entier naturel N (on note avec un point d’exclamation: N! et on lit “factorielle N”) est le produit de tous les entiers naturels de 1 jusqu’à N (inclus). Ainsi : 4! = 1x2x3x4. On a bien : 4! = 24.
Le professeur a donné la règle. C’est une notion qui s’installe “naturellement” dans les questions de dénombrement. Ainsi, prenant trois personnes A,B et C et voulant les mettre en file d’attente à un guichet, on pourra former six files : {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}. Or : 6=1x2x3=3!. On a donc, avec 3 personnes, 3! files possibles. Résultat qui se généralise : on peut former N! (factorielle N) files d’attente distinctes avec N personnes.
La croissance de ce nombre est spectaculaire.
On peut faire 120 files avec 5 personnes. On peut en faire 40320 avec 8 personnes. On en est à 3 628 800 avec 10 et par exemple à 12, qui n’est pas un regroupement d’individus bien considérable, il n’y a pas moins de 479 001 600 files d’attente possibles.
Alors imaginez un peu que pour les distraire (!), on s’amuse à demander à un groupe d’une quarantaine de retraités en goguette et en voyage organisé de se mettre en file de toutes les façons possibles avant de monter dans l’autobus. Combien de choix ? On obtient un nombre dont l’ordre de grandeur se définit par un 8 suivi de 47 zéros. Bon courage !

5 761 455 nombres premiers avant 100 000 000 : ............. aucun rapport avec la question précédente. Le professeur fait du coq-à-l’âne en fonction de ce qui lui tombe sous les yeux (ou dans l’oreille). Là, le résultat (exact) est énoncé à propos d’un numéro de téléphone...

Les tables de nombres premiers ont réellement pris leur envol avec le développement de l’informatique. Dans les années 80, on maîtrisait une table des cent premiers millions de nombres premiers, le plus grand étant alors 2 038 074 743. Actuellement, on en annonce 1 075 292 778 753 150 (environ donc : 1 000 000 000 000 000, soit un million de milliards ou encore 1 000 billions) compris entre 0 et ... le gigantesque nombre qui s’écrit à l’aide d’un 4 suivi de 16 zéros et réprésente 40 000 billions. Par ailleurs, fin décembre 2005, on a certifié un nouveau “plus grand nombre premier connu”. Il est inférieur d’une unité au nombre obtenu en multipliant entre eux 10 402 417 nombres égaux à 2. Ce nombre s’écrit, tous calculs faits, à l’aide de 9 152 052 chiffres.

Ces problèmes de détermination de nombres premiers achoppent en fait sur la méconnaissance de ce qui pourrait être une régularité d’occurrence, au sein de la suite illimitée des entiers. On constate avec l’aide de l’informatique leurs surgissements successifs, mais à chaque fois, on ignore à l’avance quel sera le suivant. On maîtrise simplement, et depuis plus d’un siècle, une règle d’approximation de leur fréquence globale d’apparition. Le résultat date de ... 1896. Il a été obtenu simultanément, sans aucune concertation dans les démarches, par un mathématicien français, Jacques Hadamard (1865 - 1963) et par un mathématicien belge, Charles Jean Gustave Nicolas de La Vallée Poussin (1866 - 1962), dont on notera, de bout en bout, la quasi superposition des forts longues existences.

S’appuyant, bien qu’indépendamment l’un de l’autre, sur les travaux de Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), qui avait introduit une fonction spéciale “dépendant” des nombres entiers, la fonction Z (lettre grecque en fait: lire “dzéta”), ils ont démontré (je “vulgarise”) que le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné N est de l’ordre de N/ln(N), où ln(N), qu’il faut lire “logarithme-népérien-de-N”, se calcule à partir de la fonction “logarithme népérien” introduite sur les idées de John Néper, baron de Merchiston (1550 - 1617), écossais, théologien et mathématicien “bricoleur”, très motivé par la perspective d’une simplification des calculs sur les grands nombres tels que les pratiquaient (péniblement) les commerçants et ... les astronomes!

Appliquée à l’aide d’une calculatrice telle qu’en possède un élève de lycée, la formule pronostique:

5 428 681 nombres premiers inférieurs à 100 000 000
1 046 362 870 000 000 nombres premiers inférieurs à 40 000 billions

....... on voit qu’on est tout à fait dans la zone des valeurs exactes fournies précédemment.

Bon... Voilà pour le premier chapitre d’un livre .... qui en comporte onze. Shit!
Allez, on va souffler ....

Mais pour ne pas se quitter fâchés, je vais raconter une petite histoire sur Néper....

On rapporte qu’en bon écossais, il surveillait de près ses biens et ne fermait les yeux sur aucun chapardage. Or, il advint une période où de menus larcins se produisirent en son familial château, sur la terre de ses ancêtres. Convocation des domestiques, dûment soupçonnés et discours du maître. Voici ce qu’il leur dit: “Dans ce petit réduit obscur qui sépare la pièce où nous sommes de la suivante, j’ai placé sur une table mon coq magique. Quand on lisse ses plumes, il lit dans les pensées. Vous allez un par un traverser ce réduit pour rejoindre la pièce voisine. Au passage, vous caresserez le coq. Quand vous serez tous de l’autre côté, je l’interrogerai et il me désignera le voleur”. Ce qui fut dit fut fait.... et le voleur découvert, car Néper avait fait enduire de suie les plumes du coq, certain de la crédulité de ses gens et que le coupable, se gardant de toute caresse, serait aisément désigné par ses mains blanches.

Pas mal, non ?